Exercícios Resolvidos de Plano Inclinado

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Enunciado

Dois blocos de massa m A e m B estão ligados por um fio ideal como ilustrado na figura abaixo.

O bloco de massa m A desliza sobre a parte inclinada de um ângulo β em relação à horizontal. Já o bloco de massa   m B desliza sobre uma superfície plana. Sobre o bloco B atua uma força de módulo F paralela à horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre os blocos e a superfície é igual μ .

Considerando que devido à ação da força F → o sistema passa a se mover para a direita:

a) Desenhe o diagrama de forças para cada um dos blocos.

b) Determine a aceleração do conjunto.

c) Determine a tensão no fio que une os blocos.

Suas respostas devem ser dadas em termos de m A ,   m B , F , g , β e μ .

Passo 1

a) Desenhe o diagrama de forças para cada um dos blocos.

Vamos lá!!

Os dois blocos vão ter peso, normal, tração e força de atrito. E além dessas, o bloco B tem a força F.

Uma coisa legal pra notar é que, como o fio e a roldana são ideais, vamos ter que o módulo das trações são iguais:

T → = T → ' = T

Show?

Passo 2

b) Determine a aceleração do conjunto.

Vamos aplicar a segunda lei de newton em cada um dos blocos.

Primeiro para o bloco A:

Usando esse sistema de coordenadas da figura, vamos ter:

Em x:

∑ F x = m A a

T A - f a t A - P A sen ⁡ β = m A a

Em y, não tem movimento, então:

∑ F y = 0

N A = P A cos ⁡ β

Opa!

A gente sabe que:

f a t A = μ N A

Substituindo:

f a t A = μ   P A cos ⁡ β

Então a equação lá de cima fica:

T A - f a t A - P A sen ⁡ β = m A a

T A - μ   P A cos ⁡ β - P A sen ⁡ β = m A a

T A - μ m A g cos ⁡ β - m A g sen ⁡ β = m A a

Beleza. Guarda essa equação aí. Daqui a pouco vamos precisar dela.

Agora, vamos fazer a mesma coisa, mas para o bloco B.

Passo 3

Para o bloco B

Usando esse sistema de coordenadas da figura, vamos ter:

Em x:

∑ F x = m B a

F - T B - f a t B = m B a

Em y, não tem movimento, então:

∑ F y = 0

N B = P B

Mesma coisa de antes:

f a t B = μ N B = μ P B

f a t B = μ m B g

Substituindo na equação lá de cima:

F - T B - f a t B = m B a

F - T B - μ m B g = m B a

Show!! Tá bonito...

Agora, lembra que a gente falou que o módulo das trações são iguais, então:

T A = T B = T

Aí, olha só pra essas 2 equações que a gente achou:

T A - μ m A g cos ⁡ β - m A g sen ⁡ β = m A a F - T B - μ m B g = m B a

Elas vão ficar assim:

T - μ m A g cos ⁡ β - m A g sen ⁡ β = m A a F - T - μ m B g = m B a

Pra gente achar a aceleração é só resolver esse sisteminha.

Vamos somar as equações e isolar o a :

F - μ m A g cos ⁡ β - m A g sen ⁡ β - μ m B g = ( m A + m B ) a

a = F - μ g m A cos ⁡ β + m B - m A g sen ⁡ β m A + m B

Uhuuul!!!

É esse negócio gigante mesmo!

Hahah

Passo 4

c) Determine a tensão no fio que une os blocos.

Agora é tranquilo... lembra daquelas equações que a gente achou na letra b:

T - μ m A g cos ⁡ β - m A g sen ⁡ β = m A a F - T - μ m B g = m B a

Aí é só substituir o a em qualquer uma delas, e isolar o T .

Vamos pegar a segunda:

F - T - μ m B g = m B a

T = F - μ m B g - m B a

T = F - μ m B g - m B F - μ g m A cos ⁡ β + m B - m A g sen ⁡ β m A + m B

Arrumando isso:

T = F m A - m A μ m B g + μ g m B m A cos ⁡ β + m B m A g sen ⁡ β m A + m B

T = F m A + m A m B ( μ g cos ⁡ β - μ g + g sen ⁡ β ) m A + m B

Resposta

a)

b) a = F - μ g m A cos ⁡ β + m B - m A g sen ⁡ β m A + m B

c) T = F m A + m A m B ( μ g cos ⁡ β - μ g + g sen ⁡ β ) m A + m B

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