Um vagão de massa m 2 = 4   t o n está sobre um plano inclinado de inclinação θ = 45 ° , ligado a uma esfera suspensa, de massa m 1 = 500   k g , pelo sistema de cabos e polias ideais, como ilustrado na figura 2.24 . O coeficiente de atrito cinético entre o vagão e o plano inclinado é μ c = 0,5 e o sistema é solto do repouso.

b) Utilizando a conservação da energia, calcule de que distância D o vagão terá se deslocado, ao longo do plano inclinado, quando sua velocidade atingir 4,5   k m / h .

Passo 1

E aí pessoal, tudo certo com vocês?

Nessa questão temos um sistema de blocos, polias e plano inclinado, igual foi mostrado na figura. Basicamente, o bloco ou a esfera irá começar a descer enquanto o outro elemento irá subir. Como eles estão conectados por fio, deve haver um vínculo geométrico relacionando o movimento da esfera e do vagão.

No item anterior, usamos o vínculo geométrico da figura para determinar as seguintes relações:

x 1 = 2 x 2

v 1 = 2 v 2

Agora, o enunciado nos pede para determinar o deslocamento D do vagão, ao longo do plano inclinado, quando sua velocidade for:

v 2 = 4,5   k m / h

Nesse sistema, como temos força de atrito no vagão, a energia mecânica do sistema não se conserva. Mas, podemos usar o princípio do trabalho das forças não-conservativas para resolvê-lo. Esse princípio diz que:

∑ τ N C = Δ E m e c

(Considerando o sistema composto pela esfera e pelo vagão, a tração é como uma força interna e seu trabalho é nulo no sistema).

Vem com a gente que vamos explicar direitinho como aplicar essas ideias 😊

Passo 2

Bom pessoal, das relações que encontramos no item anterior, se o deslocamento do vagão é D , podemos escrever que:

x 2 = D

∴ x 1 = 2 x 2 = 2 D

Da mesma forma, se:

v 2 =   4,5   k m / h

∴ v 1 = 2 v 2 = 9   k m / h

Para aplicar a equação da conservação da energia é importante passarmos a unidade da velocidade para m / s , basta dividir por 3,6 . Assim:

v 1 = 9 3,6 = 2,5   m / s

Analogamente:

v 2 = 1,25   m / s

Excelente!

Agora vamos pensar no princípio do trabalho das forças não conservativas.

A única força não-conservativa que temos é a força de atrito. Do equilíbrio do vagão na direção perpendicular ao plano inclinado, temos:

N = m 2 g ⋅ c o s θ

Já quando à força de atrito cinético, temos:

F a t c = μ N

= 0,5 ⋅ 4 ⋅ 10 3 ⋅ 10 ⋅ cos ⁡ 45

Logo:

F a t = 2 ⋅ 10 4   N

Assim, o trabalho da força de atrito vale:

τ F a t = 2 D ⋅ 10 4

Muito bom!

Passo 3

Já quanto à variação da energia mecânica, inicialmente o sistema está repouso, então:

v 0,1 = v 0,2 = 0   m / s

Para escrever essa variação, podemos escrever:

Δ E m e c = m v 1 2 2 + m v 2 2 2 + m g h 2 + m g h 1 - ( m g h 0,1 + m g h 0,2 )

∴ Δ E m e c =     m v 1 2 2 + m v 2 2 2 + m g Δ h 2 + m g Δ h 1

Como a esfera deslocou-se para cima, a diferença de altura deve ser positiva.

x 1 = 2 D

∴ Δ h 1 = 2 D

E, o vagão deslocou-se D no plano inclinado. Como foi descendo, essa diferença de altura deve ser negativa:

x 2 = D

∴ Δ h 2 = - D s e n θ

= - 2 D 2

Sabendo também que:

v 1 = 2,5 m s

v 2 = 1 , 25 m s

Temos:

Δ E m e c =     m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 + m 2 g Δ h 2 + m 1 g Δ h 1

Δ E m e c =   500 2 ⋅ 2,5 2 + 4 ⋅ 10 3 2 ⋅ 1,25 2 - 4 ⋅ 10 4 ⋅ 2 D 2 + 500 ⋅ 10 ⋅ 2 D

Igualando com o trabalho da força de atrito, vamos ter:

2 D ⋅ 10 4 = 250 ⋅ 2,5 2 + 2000 ⋅ 1,25 2 - 2 2 ⋅ 10 4 ⋅ D + 500 0 ⋅ ( 2 D )

Isolando D , temos:

D ⋅ 2 ⋅ 10 4 + 2 2 ⋅ 10 4 - 10 4 = 250 ⋅ 2,5 2 + 2000 ⋅ 1,25 2

Logo:

D = 0 , 145     m = 24,5   c m

E é isso gente! Espero que vocês tenham entendido tudo bem direitinho!Até a próxima 😊

Resposta

0 , 145     m

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