Exercícios Resolvidos de Plano Inclinado

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Enunciado

Um carro está dando voltas com velocidade de módulo constante v numa estrada curva e inclinada de um ângulo θ em relação à horizontal. A massa do carro é M =   500   k g e o raio da curva é R   =   100   m . A velocidade do carro é tal que a força de atrito está atuando no sentido de impedir a derrapagem para cima na estrada. O coeficiente de atrito estático entre os pneus e a estrada de concreto é μ E   =   1,00   e o coeficiente de atrito cinético é μ C   =   0,900 .

a) Faça o diagrama de corpo livre para o carro nesta situação.

b) Escreva a segunda lei de Newton correspondente na forma vetorial e por componentes nas direções indicadas na figura.

c) Se o ângulo de inclinação da curva com a horizontal θ for de 10 ° e se a velocidade do carro for 72   k m / h , calcule o valor do módulo da força de atrito estático. Nesta estrada, limite de velocidade é de 135   k m / h .

Passo 1

a)

Diagrama de corpo livre é aquele diagrama em que a gente desenha todas as forças que atuam no nosso corpo, nesse caso é o carrinho. Primeira coisa que você faz no seu desenho é transformar o carro em um bloquinho/ponto. E criar um sistema de eixos pra ele, eu chamei de x ' e y ' . Ah, e já esquevi o θ ali para não esquecer!

Passo 2

a)

Agora que você já tem seus eixos, vamos marcar as forças:

O corpo está no planeta Terra? Sim! Então tem atração gravitacional tem o peso, apontando pro centro da Terra!!

O corpo está em contato com alguma superfície? Sim! Então tem normal, perpendicular a superfície!!

A superfície é lisa? Não! Ela tem atrito!!(a setinha fica na superfície, mas o sentido dela você tem que analisar! Vamo junto: o atrito é contra o sentido de movimento, lendo lá no enunciado, ele fala pra gente: “derrapagem para cima”, mas eu disse que o atrito é contra o movimento, então a setinha é pra baixo).

Show?

Passo 3

b)

Lembra dos eixos que a gente colocou lá em cima, e do ângulo? Então, agora que eles vão ser úteis! Acompanha comigo:

Vamos decompor todas as forças em componentes que estão na direção r e y! Essas são as direções que o enunciado dá pra gente! E ele pede que a resposta seja dada em relação a esses eixos. Vamos lá então:

O ângulo θ que a superfície faz com a horizontal é o mesmo ângulo que o peso faz com o eixo y , que é o mesmo ângulo que a normal faz com o eixo y (ele é um ângulo oposto pelo vértice, isso é um fato da geometria plana). Então fica assim:

Agora é só ver quem é “colada” e quem está “separada”do θ   . (Lá na teoria de segunda lei tá explicando como fazemos isso!)

Vamos lá.

Passo 4

Aplicando a segunda lei de Newton para cada eixo:

  • Primeiro no eixo y, então temos que pegar todas as componentes que estão no eixo y. Entre a normal e o eixo y tem o θ , então a componente da normal no eixo y é “colada” com θ →   com θ → cos ⁡ θ ..haha.
  • O peso tá em cima no eixo y, e apontando pra baixo (sinal negativo!), então não precisamos separar em componentes.

    A F a t ta longe do eixo y, então vamos colocar ela mais pra cima:

    De novo, o θ que aparece ali é por geometria, lá na teoria tem tudo explicadinho.

    Aí a gente vê que a componente da F a t no eixo y está “separada” do θ   → s e n   θ  

    N cos ⁡ θ - M g - F a t   s e n   θ = M a y    

    Mas no eixo y não temos movimento, o carrinho não tá pulando pra cima e pra baixo, então a aceleração nesse eixo é zero!

    N cos ⁡ θ - M g - F a t   s e n   θ = 0  

  • Maravilha, agora vamos fazer para o eixo r:

A Normal está “separada” do θ → s e n   θ .

A F a t está “colada” no θ   → cos ⁡ θ .

N sen ⁡ θ + F a t   c o s   θ = M a r  

E quem é a aceleração em r? O carrinho tá fazendo uma curva, então se tem curva, tem uma aceleração para o centro!

a r = a c e n t r í p e t a = v 2 R

Substituindo esse valor:

N sen ⁡ θ + F a t   c o s   θ = M v 2 R  

Prontinho! Sucesso! Já escrevemos a segunda lei nos dois eixos pedidos.

Passo 5

c)

Ele tá querendo o valor da F a t dado um ângulo e uma velocidade

v = 72 km/h. Essa unidade da velocidade não está no SI,

então temos que mudar pra m/s.

Aí ficamos com: v = 20 m/s.

Nossos dados são esses daqui:

M = 500   K g v = 20   m / s R = 100 m cos ⁡ 10 = 0,98 s e n   10 = 0,17 g = 10 m / s 2  

Agora que tá tudo bonito, vamos usar as equações da letra b pra isolar a F a t :

N   s e n   10   +   F a t   c o s   10   =   500 20 2 100

N cos ⁡ 10 - 5000 - F a t   s e n   10 = 0  

Dividindo a equação de baixo por c o s 10 e multiplicando por – s e n   10 :

- N   s e n 10 + 5000 tan ⁡ 10   + F a t tan ⁡ 10   s e n 10 = 0

Somando essa última com a primeira equação, e ajeitando:

F a t t a n 10   s e n 10 + c o s 10 = 2000 - 5000   t a n 10  

F a t = 1101,4   N

Passo 6

Resposta

a)

b) Em y:

N cos ⁡ θ - M g - F a t   s e n   θ = 0  

Em r:

N sen ⁡ θ + F a t   c o s   θ = M v 2 R  

c)

F a t = 1101,4   N

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