Exercícios Resolvidos de Plano Inclinado

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Enunciado

Qual é o módulo da força horizontal F , mostrada na figura abaixo, para o qual o bloco de massa m 1 não escorrega para cima nem para baixo sobra a cunha, de massa m 2 ? Todas superfícies são livres de atrito.

(a) m 1 + m 2 g   t g θ

(b) m 2 m 1 g   s e n θ

(c) m 2 + m 1 g   s e n θ

(d) m 2 g   t g θ

(e) m 1 g   c o s θ

Passo 1

Queremos saber a força F para que o bloco 1 não deslize na rampa.

Vamos dar uma olhada nas forças sobre o bloco 1 para entender melhor a situação.

Já decompondo a força peso em suas componentes, temos:

Porém, aquela força F aplicada na rampa muda um pouco as coisas.

Primero de tudo, como não temos atrito, a força F faz com que tanto o bloco 1 quanto a rampa tenham uma aceleração para a direita.

Porém, quanto maior for essa força F , maior será a força normal N → que a rampa exerce sobre o bloco 1.

A ideia é que como o bloco 1 não pode estar descendo nem subindo, sua força resultante deve estar na horizontal. Então algum valor de F , vai gerar uma força normal N → que faz o somatório de forças no bloco 1 estar na horizontal.

Quando isso acontecer, o bloco 1 terá sua aceleração na horizontal e por isso não subirá nem descerá a rampa.

Passo 2

Então vamos encontrar quem é essa força F .

Quando o bloco 1 tiver sua aceleração na horizontal, significa que ele tem a mesma aceleração da rampa. Logo, podemos aplicar a segunda lei de Newton para os dois blocos juntos, considerando que eles sejam apenas um blocão de massa m 1 + m 2 .

F R = m a

F = m 1 + m 2 a

Assim, achamos que a aceleração do conjunto em função de F é:

a = F m 1 + m 2

Passo 3

Agora, vamos olhar para o bloco 1 para relacionar a força resultante nele com a aceleração.

Como queremos que a aceleração do bloco 1 esteja na horizontal, é conveniente usar os eixos na horizontal e vertical:

Com um pouquinho de geometria, conseguimos fazer aquele ângulo θ aparecer ali do lado força normal:

Agora, podemos decompor N → em suas componentes:

A força resultante no bloco 1 deve estar na horizontal, então a componente vertical de N → deve se anular com a força P → :

N c o s θ - P = 0

N c o s θ = m 1 g           ( 1 )

Então, a força resultante no bloco 1 será apenas a componente horizontal da força N → :

F R = m a

N s e n θ = m 1 a         ( 2 )

Vamos juntar essas duas equações dividindo ( 2 ) por ( 1 ) :

N s e n θ N c o s θ = m 1 a m 1 g

t g θ = a g

Passo 4

Para terminar, como a aceleração é a mesma no bloco 1 e na rampa, podemos juntar as duas equações substituindo a aceleração.

a = F m 1 + m 2 t g θ = a g

F m 1 + m 2 = g   t g θ

F = m 1 + m 2 g   t g θ

Ficamos com a alternativa (a).

Resposta

Letra (a)

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