Uma pedra esférica de raio R   =   20   c m , uniforme e maciça e parte do repouso e rola para baixo de uma colina de 30,0 m de altura e inclinação de 30 ,   0 ° , como indica a figura 3. A metade superior da colina é áspera o suficiente para fazer a pedra rolar sem deslizar, mas a metade inferior está coberta de gelo e não há atrito.

a) Calcule a aceleração da pedra na parte áspera.

b) Calcule a velocidade escalar de translação da pedra quando ela atinge a metade da colina.

c) Calcule a velocidade escalar de translação da pedra quando ela atinge a base da colina.

Passo 1

E aí galerinha, como vocês estão por aí?

Oi galerinha, tudo beleza por aí??

a) Nesse problema nós temos um começo e um fim. Interpretando o problema, nós temos um ponto inicial em que a pedra está em repouso e um ponto final onde ela atinge a base da colina. Mas repara que nessa descida ela passa por duas situações diferentes: uma na parte áspera e outra na lisa.

Vamos iniciar resolvendo esse probleminha determinando a aceleração da pedra que é a própria aceleração da gravidade quando decomposta no plano de inclinação de 30,0 ° , corresponde a a = g * s e n θ . Considerando que g = 9,8   m / s 2 .

a = 9,8 * s e n 30 °

a = 9,8 * 1 2 = 4,9 m / s 2

Passo 2

Agora destruir o item b em busca da velocidade escalar de translação da pedra quando ela atinge a metade da colina!

Aqui vamos usar o princípio de conservação de energia entre a altura máxima e a metade da sua altura, sendo esse o último ponto onde há força de atrito capaz de fazer a bola girar! Assim, teremos:

E p o t e n c i a l = E c i n é t i c a

Ahh, mas lembra que energia cinética é a soma da energia cinética de translação mais de rotação:

E c i n é t i c a = E t r a n s l a ç ã o + E r o t a ç ã o               ( 1 )

Sendo que cada uma equivale a:

E t r a n s l a ç ã o = m v 2 2

E r o t a ç ã o = I w 2 2

E a nossa energia potencial equivale à metade da altura:

E p o t e n c i a l = m g H 2

Substituindo esses termos na equação (1), teremos:

m g H 2 = m v 2 2 + I w 2 2

Para sairmos essa equaçãozona, temos que aplicar a condição de rolamento que diz que:

v = w r           →             w = v r

Então

m g H 2 = m v 2 2 + 2 5 m r 2 1 2 v 2 r 2 = 7 10 m v 2

Ou sejaaa, temos que a velocidade de translação na metade superior da colina equivale a:

v = 5 g H 7

Passo 3

Agora só falta o item c. Aqui nós vamos determinar a velocidade escalar de translação da pedra quando ela atinge a base da colina.

A ideia aqui é usar o famoso princípio da conservação de energia mecânica da metade da rampa até o final !

E m e c â n i c a   i n i c i a l = E m e c â n i c a   f i n a l

1 2 m v 0 2 + m g H 2 = 1 2 m v f 2

Como nós determinamos a velocidade inicial, nesse caso, a velocidade que a pedra atinge metade da rampa, temos que:

1 2 m 5 g H 7 + m g H 2 = 1 2 m v f 2

Organizando os termos, temos que:

1 2 v f 2 = 5 g H 14 + g H 2

Portanto, a velocidade escalar de translação que a pedra atinge a base é:

v f   = 12 g H 7   m / s  

Prontinho, terminamos ☺

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Resposta

a )   4,9   m / s 2     b )   v = 5 g H 7     m / s ,       c )   v b a s e = v f i n a l   = 12 g H 7   m / s  

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