Exercícios Resolvidos de Plano Inclinado

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Enunciado

Parte I:

Uma caixa de massa m 2 = 2,0   k g está sobre um plano inclinado que faz um ângulo θ 2 = 60 ° com a horizontal. Ela está ligada por uma corda de massa desprezível, que passa por uma roldana ideal, a uma outra caixa de massa m 1 = 3,0   k g , conforme a figura ao lado. Os planos inclinados fazem 90 ° entre si e não possuem atrito.

(a ) Faça os diagramas de forças dos blocos 1 e 2.

(b) Determine o módulo da aceleração de cada bloco.

(c) Encontre o módulo da tensão 𝑇 na corda.

Passo 1

Parte I:

Temos dois blocos (1 e 2) em planos inclinados de inclinações diferentes ( θ 1 e θ 2 ) conectados por uma corda. A força peso vai puxar cada bloquinho para baixo, e eles vão ficar como se fosse um cabo de guerra:

Se as inclinações fosse iguais, o bloco de maior massa iria ganhar o “cabo de guerra’’, conseguindo descer e puxar o outro bloquinho para cima, pois sua força peso é maior.

Mas como as inclinações são diferentes, o bloco que vai descer será o do lado com uma componente da força peso maior atuando na direção de descida da rampa.

Então, assim como o item (a) já pede, vamos analisar cada bloquinho.

Passo 2

(a) Faça os diagramas de forças dos blocos 1 e 2.

Tanto o bloco 1 quanto o bloco 2, terão força peso ( P → ) apontando para baixo, força de tração ( T → ) no sentido da corda e força normal ( N → ) perpedndicular à superfície de contato.

Bloco 1:

Bloco 2:

Passo 3

(b) Determine o módulo da aceleração de cada bloco.

Para relacionar os dois blocos, vamos usar que a tração ( T ) na corda é a mesma, então os módulos:

T 1 = T 2 = T

Para achar a aceleração de cada bloco, vamos decompor as forças no sistema de eixos na direção da aceleração.

Para o bloco 1:

Pela segunda lei de Newton, no eixo y temos:

N 1 - P 1 cos ⁡ θ 1 = 0

N 1 = P 1 cos ⁡ θ 1

No eixo x , vamos assumir que o bloco 1 está descendo (um palpite):

P 1 s e n   θ 1 - T = m 1 a

Para o bloco 2:

Pela segunda lei de Newton, no eixo y temos:

N 2 - P 2 cos ⁡ θ 2 = 0

N 2 = P 2 cos ⁡ θ 2

Agora, se consideramos o bloco 1 descendo, o bloco 2 vai estar subindo. Logo, no eixo x temos:

T - P 2 s e n   θ 2 = m 2 a

Agora vamos somar as equações do eixo x de cada bloco:

P 1 s e n   θ 1 - T = m 1 a T - P 2 s e n   θ 2 = m 2 a

P 1 s e n   θ 1 - P 2 s e n   θ 2 = m 1 + m 2 a

a = P 1 s e n   θ 1 - P 2 s e n   θ 2 m 1 + m 2

Temos que P = m g :

a = m 1 g s e n   θ 1 - m 2 g s e n   θ 2 m 1 + m 2

Não sabemos o ângulo θ 1 , mas sabemos que θ 2 = 60 ° e que a rampa é um triângulo retângulo. Logo, θ 1 = 30 ° . Substituindo nossos dados:

a = g m 1 s e n   30 ° - m 2 s e n   60 ° m 1 + m 2

a = 9,8 3,0 1 2 - 2,0 3 2 3,0 + 2,0

a = - 0,45   m / s 2

Conseguimos então o módulo da aceleração. Porém, dá uma olhada nessa aceleração negativa. Isso significa que a direção da aceleração está para o lado oposto que consideramos no nosso palpite.

Então, na veradade o bloco 2 está ganhando o “cabo de guerra” e está descendo, enquanto o bloco 1 está subindo. Ambos com aceleração de módulo:

a = 0,45   m / s 2

Passo 4

(c ) Encontre o módulo da tensão 𝑇 na corda.

Para achar a tração na corda, vamos usar a equação obtida com a segunda lei de Newton em qualquer um dos blocos, já que a corda tem a mesma tração em todos os pontos.

Vamos escolher o bloco 1:

m 1 g s e n   θ 1 - T = m 1 a

T = m 1 g s e n   θ 1 - a

Antes de substituir. Lembra que no nosso palpite, a aceleração estava no sentido errado do que o sentido que achamos?

Então, devemos manter o sinal negativo da aceleração, pois dessa forma, a equação que achamos fica condizente com o nosso referencial.

T = 3,0 9,8 . s e n   30 ° - - 0,45

T = 16,05   N

Resposta

(a)

Bloco 1:

Bloco 2:

(b) a = 0,45   m / s 2

(c) T = 16,05   N

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