Exercícios Resolvidos de Plano Inclinado

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Enunciado

Um caminhão de massa M desce uma ladeira que faz uma inclinação angular θ com a horizontal a uma velocidade constante v 0 . O caminhão carrega na carroceria uma caixa de massa m . Ao avistar um obstáculo na pista, o motorista freia bruscamente, travando os pneus, e começa a derrapar. O coeficiente de atrito cinético entre as rodas do caminhão e o chão é μ c , e o coeficiente estático entre a caixa e o caminhão é tal que o objeto não desliza.

(a) Desenhe na figura todas as forças exercidas no caminhão e na caixa.

(b) Quais são os pares de força de ação e reação?

(c) Calcule a força de atrito exercida no caminhão e na caixa como função das variáveis do problema.

(d) Qual o limite das forças de atrito para θ → 0 ° e θ → 90 °

(e) Substituindo os valores de θ = 37 ° , v 0 = 15   m / s   e μ c = 0,8 encontre a distância percorrida até o caminhão parar. Utilize e aproximação cos ⁡ 37 ° = 0,8 e sen ⁡ 37 ° = 0,6 .

(f) O que você deverá mudar em seus cálculos se o caminhão estiver subindo a ladeira em vez de descendo? Recalcule o resultado do ítem anterior para este caso.

Passo 1

(a)

Vamos lá. A questão ta pedindo pra gente desenhar as forças na caixa que o caminhão tá carregando e no caminhão.

Bom, ambos estão sobre atração gravitacional, então temos o peso, além disso, ambos estão sobre uma superfície, então têm a normal. O bloco sofre uma força de atrito exercida pela superfície do caminhão, que é o que permite a ele ficar parado. O caminhão sofre atrito com o chão, e além disso, ele é a superfície para o bloco, então como o bloco “sente” a normal e a força de atrito, que são forças de superfície, o caminhão vai sentir a reação a essas forças.

Para o bloco:

P → B é o peso do bloco, f → a t C → B é a força de atrito que o bloco sofre pela superfície, que é a caçamba do caminhão e N → C → B é a normal que o bloco sente pela superfície, que nesse caso, também é a caçamba do caminhão.

Para o caminhão:

P → C é o peso do caminhão, f → a t é a força de atrito que o caminhão sofre pela superfície, que é o chão e N → C é a normal que o caminhão sente pela superfície que é o chão. N → B → C é uma força de reação ao contato entre bloco/caminhão. Da mesma forma, f → a t B → C é a força que o bloco faz na superfície.

Show?!

Passo 2

(b) Quais são os pares de força de ação e reação?

A gente até já falou ali em cima, se o bloco faz força na superfície (caminhão) então o caminhão faz força no bloco.

São elas:

N → B → C   e N → C → B

f → a t B → C e f → a t C → B

Portanto já podemos dizer que, os módulos delas são iguais, pela terceira lei de Newton, e só o sentido são diferentes:

N B → C = - N C → B

f a t B → C = - f a t C → B

Passo 3

(c)

Pra gente calcular a força de atrito no caminhão, que é causada pelo chão, f a t , e a força de atrito no bloco, que é causada pelo caminhão, f a t B → C , temos que aplicar a segunda lei de Newton em cada corpo.

Vamos usar o diagrama de forças da letra a e o sistema de coordendas que desenhamos, já marquei o ângulo de inclinação do plano ali, que é pra ficar mais fácil na hora de decompor as forças:

Para o bloco:

Na direção do eixo y (a aceleração em y é zero, já que não há movimento nessa direção):

∑ F y = 0

Decompondo as forças nessa direção:

N C → B - P B cos ⁡ θ = 0

Já podemos ajeitar:

N C → B = P B cos ⁡ θ

N C → B = m g cos ⁡ θ

Beleza, na direção do eixo x (o bloquinho tá parado em relação ao caminhão, mas ele tá se movendo junto com o caminhão então, nessa direção ambos possuem a mesma aceleração):

∑ F x = m a

P sen ⁡ θ - f a t C → B = m a

Show? Guarda essas duas equações aí porque já vamos precisar delas de novo.

Vamos aplicar a segunda lei para o caminhão agora:

Na direção y, também não temos aceleração, mesmo caso do bloco):

∑ F y = 0

N - N B → C - P C cos ⁡ θ = 0

Para o eixo x, temos a mesma aceleração a do bloquinho:

∑ F x = M a

P C sen ⁡ θ + f a t B → C - f a t = M a

Beleza, vamos usar a relação que vimos na letra b, dos pares ação e reação:

N B → C = - N C → B

f a t B → C = - f a t C → B

Substituindo essas relações nas equações do caminhão:

N + N C → B - P C cos ⁡ θ = 0

P C sen ⁡ θ - f a t C → B - f a t = M a

Beleza?

Opa!!! Aqui a gente já consegue saber a f a t entre o caminhão e o chão. Se liga só:

Sabemos que

f a t = μ c N

E pela equação ali em cima:

N = - N C → B + M g cos ⁡ θ

Pegando o N C → B lá da equação para o corpo:

N C → B = m g cos ⁡ θ

Temos que:

N = - m g cos ⁡ θ + M g   cos ⁡ θ

Então:

f a t = μ c N

f a t = μ c ( - m g cos ⁡ θ + M g   cos ⁡ θ )

f a t = μ c   g cos ⁡ θ ( M - m )

Maravilha!!! Uma já foi...mas falta ainda a f a t entre o bloco e o caminhão.

Passo 4

Vamos usar as equações do bloco para isolar a aceleração, e depois brincar de substituir nas equações de movimento para acharmos a forças de atrito f a t C → B :

m g sen ⁡ θ - f a t C → B = m a

Então:

a = 1 m ( m g sen ⁡ θ - f a t C → B )

Maravilha, agora substituindo isso na equação do caminhão:

P C sen ⁡ θ - f a t C → B - f a t = M a

P C sen ⁡ θ - f a t C → B - f a t = M m ( m g sen ⁡ θ - f a t C → B )

Já sabemos a f a t que é:

f a t = μ c   g cos ⁡ θ ( M - m )

Substituindo isso:

P C sen ⁡ θ - f a t C → B - μ c   g cos ⁡ θ ( M - m ) = M m ( m g sen ⁡ θ - f a t C → B )

M g sen ⁡ θ - f a t C → B - μ c   g cos ⁡ θ ( M - m ) = M m ( m g sen ⁡ θ - f a t C → B )

Ajeitando essa equação e isolando f a t C → B :

f a t C → B = m g   μ c cos ⁡ θ

Uhuuul! Finalmente!!

Vamos pra próxima agora!!

Passo 5

(d) Qual o limite das forças de atrito para θ → 0 ° e θ → 90 °

Aí é só a gente ver quanto a fat vale nesses casos.

Entre o caminhão e o chão:

f a t = μ c   g cos ⁡ θ ( M - m )

Para θ = 0 , significa que estamos em um plano reto...não tem inclinação:

f a t = μ c   g ( M - m )

Para θ = 90 , significa que o plano tá completamente vertical...eita..Como que o caminhão vai subir? Ele não vai né! Ele vai cair, ou seja, não vai ter contato dele com o chão, logo:

f a t C → B = m g   μ c cos ⁡ 90 = 0

Entre o bloco e o caminhão:

Para θ = 0 :

f a t C → B = m g   μ c

Para θ = 90 :

f a t C → B = m g   μ c cos ⁡ 90 = 0

Maravilha! Essa foi tranquila! Vamos pra próxima.

Passo 6

e)

Ele fala pra gente que θ = 37 ° , v 0 = 15   m / s   e μ c = 0,8 , e pede pra gente calcular a distância até o caminhão parar.

Beleza, a gente sabe a aceleração que ele tem, sabemos a velocidade final, que é zero, e a inicial que é 15 m/s. Então vamos usar Torricelli:

v 2 = v 0 2 + 2 a ∆ x

Pegando a aceleração de descobrimos lá na letra c:

a = 1 m ( m g sen ⁡ θ - f a t C → B )

E substituindo tudo:

v 2 = v 0 2 + 2 a ∆ x

0 = 15 2 + 2 1 m m g sen ⁡ θ - f a t C → B ∆ x

A gente descobriu a força de atrito na letra anterior:

f a t C → B = m g   μ c cos ⁡ θ

Então substituindo na equação acima, e arrumando:

- 15 2 = 2 g ( sen ⁡ θ -   μ c cos ⁡ θ ) ∆ x

Substituindo os valores que ele fala pra gente:

- 225 = 20 ( 0,6 - 0,8 ⋅ 0,8 )   ∆ x

Então:

- 225 = 20 - 0,04 ∆ x

- 225 = - 0,8 ∆ x

∆ x = 281,25   m

Passo 7

f) Bem, se o camihão estivesse subindo a ladeira, então o movimento dele seria no sentido oposto ao do eixo x, que desenhamos lá na nossa figura, então a nossa aceleração, teria sentido oposto:

a = - 1 m ( m g sen ⁡ θ - m g   μ c cos ⁡ θ

a = - ( g sen ⁡ θ - g   μ c cos ⁡ θ )

Vamos ver como isso muda as coisas:

v 2 = v 0 2 + 2 a ∆ x

0 = 15 2 - 2 ( g sen ⁡ θ - g   μ c cos ⁡ θ ) ∆ x

Substituindo tudo e arrumando:

- 15 2 = - 20 ( - 0,04 ) ∆ x

- 15 2 = 0,8   ∆ x

Então:

∆ x = - 281,25   m

Agora o deslocamento é negativo. Como era de se esperar, já que ele tá indo no sentido oposto ao do eixo x, que tínhamos definido.

Só sucesso?!

Resposta

a)

b) N → B → C   e N → C → B

f → a t B → C e f → a t C → B

c) f a t = μ c   g cos ⁡ θ ( M - m )

f a t C → B = m g   μ c cos ⁡ θ

d)Entre o caminhão e o chão:

Para θ = 0

f a t = μ c   g ( M - m )

Para θ = 90

f a t C → B = 0

Entre o bloco e o caminhão:

Para θ = 0 :

f a t C → B = m g   μ c

Para θ = 90 :

f a t C → B = m g   μ c cos ⁡ 90 = 0

e) ∆ x = 281,25   m

f) ∆ x = - 281,25   m

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