Exercícios Resolvidos de Teste da Divergência

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Enunciado

Nos exercícios seguintes, verificar se as séries dadas são convergentes ou divergentes e, no caso de convergência, dizer se é convergência absoluta ou condicional.

b )   ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 3 n - 1 10 n + 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Precisamos decidir se essa série aqui

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 3 n - 1 10 n + 2

É convergente ou divergente. E em caso de convergência, dizer ainda se a convergência é absoluta ou condicional. Mas você lembra desses conceitos?

Dizemos que uma série converge absolutamente quando o módulo da série converge! E aqui você pode usar qualquer teste para ver isso!

E quando o módulo diverge? Aí aplicamos o teste das séries alternadas! Se a série alternada convergir, dizemos que a série converge condicionalmente.

E se a série alternada diverge? Então a série é divergente mesmo!

Mas pode ficar tranquilo, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa série positiva associada é

∑ n = 1 ∞ 3 n - 1 10 n + 2

Agora a pergunta de milhões: qual teste escolher? Como temos uma razão de polinômios: podemos usar o teste da divergência

Relembrando dos critérios para o teste da divergência:

Supondo uma série do tipo

∑ n = 1 ∞ a n

Fazendo

a n   = L

Temos dois cenários

  • Se L ≠ 1 : dizemos que a série diverge
  • Se L = 1 : dizemos que o teste é inconclusivo (ou seja, precisamos aplicar outro teste)

Nossa missão agora é determinar o limite do módulo do termo geral!

Tudo bem até aqui?

Agora vamos avaliar o limite! Como é um módulo, aquele (-1) vai sumir.

3 n - 1 10 n + 2   = ⏝ ∞ ∞ → L ' H 3 10   = 3 10

Encontramos para o limite do termo geral um valor diferente de zero! Isso significa que a série em seu módulo diverge!

Mas ela na verdade é alternada, então ainda podemos aplicar o teste das séries alternadas e verificar se a versão alternada dessa série converge! Se o resultado for positivo, então dizemos que a série converge condicionalmente...

Bora aplicar o teste das séries alternadas?

Passo 3

O teste das séries alternadas noz diz que

Seja uma série

∑ n = 1 ∞ - 1 n a n

Para que seja uma série convergente, precisa que seja satisfeitos dois critérios

  1. a n + 1 < a n
  2. a n   = 0

Agora nossa missão é verificar se a nossa série se encaixa nesses critérios, bora lá?

Nossa série

∑ n = 1 ∞ - 1 n 3 n - 1 10 n + 2

Mas já calculamos esse limite no passo anterior e já descobrimos que ele não é zero:

3 n - 1 10 n + 2   = 3 10 ≠ 0

Então já quebramos um dos critérios para a convergência das séries alternadas, podemos afirmar que nossa série é divergente

Beleza pessoal? É isso! Espero ter ajudado!

Resposta

d i v e r g e n t e

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