Exercícios Resolvidos de Teste da Divergência

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Enunciado

(Capítulo 11.2 – Exercício 59) Encontre os valores de x   para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de x .

59. ∑ n = 0 ∞ x - 2 n 3 n

Passo 1

E aeee galera, tudo tranquilo?

Ó, nesse exercício temos uma série com um certo x envolvido

E aí queremos saber o seguinte: pra quais valores de x essa série vai convergir? Então quais são os valores de x que fazem essa série não explodir pro infinito, saca?

E aí, a partir desses valores, a gente calcula a soma da série quando ela converge

Então boraaa

Passo 2

Colocando n em evidência poderemos escrever a série em questão da seguinte forma:

∑ n = 0 ∞ x - 2 n 3 n = ∑ n = 0 ∞ x - 2 3 n

Esse formato é característico de uma série geométrica, não é mesmo? Caso não se lembre, ela tem esse formato aqui:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1

No nosso caso temos que a = 1 e r = x - 2 3 , uma vez que a é o primeiro termo da sequência e r é a relação comum.

Passo 3

Para uma série geométrica, se r ≥ 1 , a série é divergente. Caso contrário, se r < 1 , então a série é convergente e sua soma é:

a 1 - r

Tudo bem, agora que já temos informações suficientes vamos fazer a análise de x ! Como queremos os valores de x para os quais a série converge, então teremos:

r < 1

x - 2 3 < 1

Retirando o módulo e, portanto, assumindo as consequências referentes ao sinal, teremos:

- 1 < x - 2 3 < 1

- 3 < x - 2 < 3

- 1 < x < 5

E esse intervalo representa os valores de x para os quais a série é convergente! Por fim, a soma será:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = a 1 - r

∑ n = 0 ∞ x - 2 n 3 n = 1 1 - x - 2 3 = 1 5 - x 3 = 3 5 - x

Resposta

- 1 < x < 5

∑ n = 0 ∞ x - 2 n 3 n = 3 5 - x

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