Exercícios Resolvidos de Teste da Divergência

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Enunciado

Seja ∑ k = 1 ∞ a k uma série de termos positivos tal que

a k k ≥ a r c t a n   n .

Em relação a convergência da série, é correto afirmar que:

a ) Não se pode dizer nada.

b ) Converge.

c ) Diverge.

Passo 1

Eaew, tudo bem contigo?

Nós temos aqui uma série infinita de termos positivos da forma

∑ k = 1 ∞ a k

em que os elementos das séries são dados pela relação

a k k ≥ a r c t a n   n .

Aqui temos uma desigualdade entre dois coeficientes de séries infinitas. Portanto, podemos utilizar a divergência do termo menor, ou a convergência do termo maior, para determinar a divergência (ou convergência) do outro termo! Como toda informação que temos é a desigualdade acima, e queremos analisar a convergência da série construída usando a k , só vamos ser capazes de dizer algo se a r c t a n   ( n ) for divergente! Já que uma série maior que uma série divergente, é necessariamente divergente! Vamos verificar essa informação!

Passo 2

Para checar se a série construída por

a n = a r c t a n ( n )

diverge, não temos muita opção além de fazer o teste de divergência mais comum, que analisa se

l i m n → ∞ a r c t a n ( n ) = L

se temos que L ≠ 0 , ou que L não existe. Temos que a série diverge! Em nosso caso, temos que o limite de n → ∞ é conhecido, o resultado é tal que

l i m n → ∞ a r c t a n ( n ) = π / 2

Portanto, temos que a série diverge. Se essa série diverge, e temos que

a k k ≥ a r c t a n   n .

Então, a série

∑ k = 1 ∞ a k k

também diverge!!! Mas, essa não é a série que queremos analisar ainda! Vamos usar agora o teste da comparação!

Passo 3

O teste da comparação utiliza duas séries da forma

0   ≤ b k ≤ a k

note que a k é maior que a k k contanto que a k > 1 . Ou seja, nestas condições temos que

0   ≤   a k k ≤ a k

e portanto, a nossa série diverge. Agora, se tivermos que a k < 1 , isso muda a nossa desigualdade para

0   ≤   a k ≤   a k k

E aqui, a divergência de a k k não nos ajuda! Precisamos verificar o teste da comparação, vamos lá!

Passo 4

Para uma desigualdade da forma

0   ≤   a k ��   b k

tempos que o teste da comparação é tal que

L   =   l i m k → ∞ a k b k

se o limite acima for L = 0 então a convergência de b k garante a convergência de a k , ou se, temos que L = ∞ então a k ser relacionado a uma série convergente, nos dá que b k está relacionado a uma série convergente! Para 0 < a k < 1 , o teste toma a forma

l i m k → ∞ a k a k k = l i m k → ∞ ( a k ) 1 - 1 / k

que podemos aplicar o limite para obter

l i m k → ∞ ( a k ) 1 - 1 / k = ( a ∞ ) 1 - 1 / ∞ = a ∞

A garantia que a k < 1 nos indica que esta série é decrescente com k , e portanto, ao levarmos o limite k → ∞ , temos que a ∞ → 0 . Então, a divergência de b k garante também a divergência de a k . Sendo assim, nossa série é divergente! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

A série é divergente!

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