Exercícios Resolvidos de Teste da Divergência

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Enunciado

Considere a sequência de termo geral

a n = n + 1 9 n + 1 ,

com n ≥ 0 .

a) Calcule lim n → ∞ ⁡ a n .

b) A série ∑ n = 0 ∞ a n   é convergente ou divergente?

Passo 1

a) Vamos calcular esse limite que ele pediu

a n = n + 1 9 n + 1

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 9 n + 1

Como a raiz é uma função contínua, podemos fazer

lim n → ∞ ⁡ n + 1 9 n + 1 = lim n → ∞ ⁡ n + 1 9 n + 1

Passo 2

Vamos calcular esse limite aqui então

lim n → ∞ ⁡ n + 1 9 n + 1

A gente pode isolar termo de maior de grau em cima e embaixo:

lim n → ∞ ⁡ n + 1 9 n + 1 = lim n → ∞   ⁡ n n   1 + 1 n 9 + 1 n = lim n → ∞   ⁡   1 + 1 n 9 + 1 n = 1 + 0 9 + 0 = 1 9

Voltando para o limite que ele pediu

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 9 n + 1 = lim n → ∞ ⁡ n + 1 9 n + 1 = 1 9 = 1 3

Passo 3

b) Cara, tem um teorema que diz isso aqui

“Se a série ∑ n = 1 ∞ a n for convergente, então lim n → ∞ ⁡ a n = 0

Repara que a ∑ n = 1 ∞ a n é a nossa série ∑ n = 0 ∞ a n , só que para n ≥ 1 . E a gente viu que para a nossa série

lim n → ∞ ⁡ a n ≠ 0

Então quer dizer que ela não converge para n ≥ 1 . E se não converge nesse intervalo, também não converge para n ≥ 0 .

Logo, nossa série é divergente.

Resposta

a) 1 / 3  

b) Divergente

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