Exercícios Resolvidos de Teste da Divergência

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Enunciado

(Capítulo 11.2 – Exercício 18) Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.

1 8 - 1 4 + 1 2 - 1 + …

Passo 1

Faaala galera, vamos lá!

Esse exercício da uma série pra gente:

1 8 - 1 4 + 1 2 - 1 + …

E aí queremos saber se ela é convergente ou divergente, ou seja, queremos saber se ela vai tendendo a algum determinado valor ou se ela explode pro infinito conforme a quantidade de termos aumenta, sacou?

Então para resolvermos esse exercício, vamos começar encontrando o termo geral e a razão dessa série, pra aí entendermos se ela converge ou diverge

Boraaa!

Passo 2

Temos a série

1 8 - 1 4 + 1 2 - 1 + …

Como o primeiro termo é 1 8 , temos que essa é uma série com a = 1 8

Para descobrirmos a razão da série, basta dividir o segundo pelo primeiro:

- 1 4 1 8 = - 2

O que condiz com os próximos termos, porque olha:

- 1 4 . - 2 = 1 2

1 2 . - 2 = - 1

E enfimm

Então podemos escrever essa série como

∑ n = 0 ∞ 1 8 - 2 n - 1

Passo 3

Agora que sabemos que se trata de uma série geométrica, basta testarmos o r pra saber se ela converge. Em uma série geométrica, a convergência é garantida se a razão for tal que:

r < 1

Neste caso, temos r = - 2 , e sabemos que - 2 = 2 > 1 , então a série diverge, show?

Resposta

Diverge.

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Vimos que a série harmônica é uma série divergente cujos termostendem a 0. Mostre que ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ 1 + 1 n também é uma série com essa propriedade.
Determine se a série é onvergente ou divergente. Se for convergente, encontre sua soma. ∑ k = 1 ∞ k 2 k 2 - 2 k + 5
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