Exercícios Resolvidos de Teste da Divergência

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Enunciado

(Capítulo 11.4 – Exercício 29) Determine se a série converge ou diverge.

∑ n = 1 ∞ 1 n !

Passo 1

Oii galera, vamos lá? Nessa questão temos essa série:

∑ n = 1 ∞ 1 n !

E aí queremos saber se ela converge (tende a um valor finito) ou diverge (explode para o infinito)

Para isso, vamos usar o teste da comparação fechou?

Este teste funciona da seguinte forma: vamos comparar duas séries, uma de convergência conhecida e outra não.

Supondo que nós temos duas séries: ∑ a n e ∑ b n , podemos concluir algumas coisas:

Se a n ≥ b n ,   ∀ n e nós sabemos que ∑ b n diverge, então ∑ a n também diverge.

Se a n ≤ b n ,   ∀ n e nós sabemos que ∑ b n converge, então ∑ a n também converge.

Para outros casos não podemos concluir nada.

Então partiuuu

Passo 2

Temos

∑ n = 1 ∞ 1 n !

Se chamarmos o termo geral da nossa série de a n , podemos dizer que

a n = 1 n !

E isso vale para n ≥ 1 .

Para escolher a outra série vamos pensar o seguinte, temos que

n ! > 2 ⋅ 2 ⋅ 2 … 2 ⋅ 2 = 2 n - 1

Isso vale para n ≥ 3 , se colocarmos ambas as expressões como denominadores de fração, o sinal de desigualdade inverte

1 n ! < 1 2 n - 1

Portanto, temos um termo que é maior que o nosso termo, então

b n = 1 2 n - 1

A série de termo geral 1 2 n - 1 é uma série geométrica com r = 1 2 < 1

Então, é uma série convergente

Agora vamos chegar às nossas conclusões sobre a n

Passo 3

Então como a n < b n ,     ∀ n ≥ 3 e nós sabemos que ∑ n = 1 ∞ b n converge, lembrando então do teste da comparação:

Se a n ≤ b n ,   ∀ n e nós sabemos que ∑ b n converge, então ∑ a n também converge.

Logo, a série

∑ n = 1 ∞ 1 n !

É convergente.

Resposta

Converge.

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