Exercícios Resolvidos de Teste da Divergência

Ver Teoria

Enunciado

Seja f x = x x 2 + 1 .

  1. A derivada de f x é dada por:
  2. A função f ( x ) é, para x ≥ 1 :
  3. Em relação à série ∑ k = 1 ∞ k k 2 + 1   é correto afirmar que
  • A série diverge pois ∫ 1 ∞ f ( x ) d x = ∞
  • O teste da integral não se aplica por que a k = k / ( k 4 + 1 ) errado
  • A série converge pelo teste da integral
  • A série diverge pelo teste da integral

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você!

A questão começa dando uma função f ( x ) :

f x = x x 2 + 1

  • na letra (a) pede apenas a derivada dela: aqui não tem mistério, é lembrar de todas as regrinhas de derivação lá do cálculo 1!
  • Na letra (b) ele pediu para dizer se a função é crescente ou decrescente em x ≥ 1 . Isso está relacionado com a derivada! Se a derivada nesse ponto (em diante) for negativa, quer dizer que a função é decrescente, se a derivada for positiva, significa que a função é crescente. Tranquilo?
  • Na letra (c) o problema pergunta várias coisas acerca da série que está associada com a função dada. Ele fala no teste da integral, então não custa nada rever como ele funciona:

Se concluirmos que a função é decrescente (e isso vamos fazer isso no item (b)), no item (c) precisamos aplicar esse teste. A ideia é integrar essa função e analisar o resultado. Se for um resultado finito, significa que a integral converge e assim a série também converge. Se o resultado for , significa que a integral diverge, assim como a série.

Mas calma, vou fazer essa questão junto com você!

Bora lá?

Passo 2

Letra (a) - a função é:

f x = x x 2 + 1

Sua derivada:

f ' x = x 2 + 1 - 2 x . x x 2 + 1 2

f ' x = - x 2 + 1 x 2 + 1 2

Tranquilo? Aqui é só fazer isso mesmo!

Passo 3

Letra (b) – agora vamos analisar o sinal da derivada para ver se a função é crescente ou não!

Aplicando f ' ( x ) em x = 1 :

f ' 1 = 0 4 = 0

Xi! Mas e para um valor maior do que 1 ? Como nossa série só admite números inteiros, é interessante analisar em x = 2 :

f ' 2 = - 2 2 + 1 2 2 + 1 2 = - 3 25 < 0

Então ta beleza! Começamos em x = 2 ! Pois a partir daí nossa função é sempre decrescente! O importante é que depois desse ponto, ela seja sempre decrescente, e é isso exatamente que acontece aqui!

Então podemos dizer que essa função é decrescente para x ≥ 1 !

Passo 4

Letra (c) – agora vamos aplicar o teste!

Agora vamos partir para a integral!

Agora vamos calcular a integral dessa função de 2 até :

∫ 2 ∞ x x 2 + 1 d x

É uma integral imprópria, e o truque sujo é o seguinte: chama aquele de uma letra qualquer, por exemplo “b”, e põe por fora dessa integral um limite de b → ∞ . Isso vai fazer com que você consiga calcular a integral sossegado e depois avaliar o limite no infinito, beleza?

aplicando esse truquezinho temos o seguinte:

lim b → ∞ ⁡ ∫ 2 b x x 2 + 1 d x

Vamos resolver essa integral separadamente!

Passo 5

A integral dentro do limite é:

∫ 2 b x x 2 + 1 d x

Como temos x 2 e x , vou usar a integração por substituição simples. Chamando u = x 2 + 1 , a derivada de u em relação a x é:

d u = 2 x   d x

Mas temos x   d x , então vou substituir x   d x = d u 2 na integral:

∫ 1 u . d u 2 = 1 2 ∫ d u u = 1 2 ln ⁡ u = 1 2 ln ⁡ x 2 + 1

E agora aplicando os limites

∫ 2 b x x 2 + 1 d x = 1 2 ln ⁡ ( b 2 + 1 ) - 1 2 ln ⁡ 5

Beleza até aqui?

Vamos voltar ao nosso limite?

Passo 6

Queríamos avaliar esse limite aqui:

lim b → ∞ ⁡ ∫ 2 b x x 2 + 1 d x

E resolvemos separadamente a integral, pegando o resultado que achamos no passo anterior e substituindo ali dentro do limite temos o seguinte:

lim b → ∞ ⁡ ∫ 2 b x x 2 + 1 d x = lim b → ∞ ⁡ 1 2 ln ⁡ ( b 2 + 1 ) - 1 2 ln ⁡ 5

Acontece que a função logarítmica explode quando vai para infinito, ela é lenta, mas explode!

Sendo assim

lim b → ∞ ⁡ ∫ 2 b x x 2 + 1 d x = ∞

Então, se

∫ 1 ∞ f ( x ) d x = ∞

Então a série

∑ n = 1 ∞ a n = d i v e r g e

Recapitulando as alternativas da letra (c):

Marcamos a primeira e a última alternativa!

Tranquilo? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

a )   f ' x = - x 2 + 1 x 2 + 1 2

b )   d e c r e s c e n t e

c ) A série diverge pois ∫ 1 ∞ f ( x ) d x = ∞  

        A série diverge pelo teste da integral

Exercícios de Livros Relacionados

27-42. Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.36. ∑ n = 1 ∞ 1 1 + 2 3 n
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre sua soma. ∑ k = 0 ∞ 2 - k
Vimos que a série harmônica é uma série divergente cujos termostendem a 0. Mostre que ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ 1 + 1 n também é uma série com essa propriedade.
Determine se a série é onvergente ou divergente. Se for convergente, encontre sua soma. ∑ k = 1 ∞ k 2 k 2 - 2 k + 5
27-42. Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.31. ∑ n = 1 ∞ 1 + 2 n 3 n