Exercícios Resolvidos de Teste da Divergência

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Enunciado

Seja f x = 1 x 2 + 6 x + 13 .

  1. A derivada de f x é dada por:
  2. A função f ( x ) é, para x ≥ 1 :
  3. Em relação à série ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 + 6 k + 13   é correto afirmar que
  • A série converge pelo teste da integral
  • A série diverge pois ∫ 1 ∞ f ( x ) d x = ∞
  • A série diverge pelo teste da integral
  • O teste da integral nãos e aplica por que a k = k / ( k 4 + 1 ) é crescente

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você!

A questão começa dando uma função f ( x ) :

f x = 1 x 2 + 6 x + 13

  • na letra (a) pede apenas a derivada dela: aqui não tem mistério, é lembrar de todas as regrinhas de derivação lá do cálculo 1!
  • Na letra (b) ele pediu para dizer se a função é crescente ou decrescente em x ≥ 1 . Isso está relacionado com a derivada! Se a derivada nesse ponto (em diante) for negativa, quer dizer que a função é decrescente, se a derivada for positiva, significa que a função é crescente. Tranquilo?
  • Na letra (c) o problema pergunta várias coisas acerca da série que está associada com a função dada. Ele fala no teste da integral, então não custa nada rever como ele funciona:

Se concluirmos que a função é decrescente (e isso vamos fazer isso no item (b)), no item (c) precisamos aplicar esse teste. A ideia é integrar essa função e analisar o resultado. Se for um resultado finito, significa que a integral converge e assim a série também converge. Se o resultado for , significa que a integral diverge, assim como a série.

Mas calma, vou fazer essa questão junto com você!

Bora lá?

Passo 2

Letra (a) - a função é:

f x = 1 x 2 + 6 x + 13

Sua derivada:

f ' x = - ( 2 x + 6 ) x 2 + 6 x + 13 2

Tranquilo? Aqui é só fazer isso mesmo!

Passo 3

Letra (b) – agora vamos analisar o sinal da derivada para ver se a função é crescente ou não!

Aplicando f ' ( x ) em x = 1 :

f ' 1 = - ( 2 . 1 + 6 ) 1 2 + 6 . 1 + 13 2 < 0

Como o denominador é sempre positivo, quem “manda” no sinal é o numerador. Como temos um sinal de ( - ) na frente de tudo, essa derivada é sempre negativa para x positivo! O importante é que depois desse ponto ( x ≥ 1 ), ela seja sempre decrescente, e é isso exatamente que acontece aqui!

Então podemos dizer que essa função é decrescente para x ≥ 1 !

Passo 4

Letra (c) – agora vamos aplicar o teste!

Agora vamos partir para a integral!

Agora vamos calcular a integral dessa função de 1 até :

∫ 1 ∞ 1 x 2 + 6 x + 13 d x

É uma integral imprópria, e o truque sujo é o seguinte: chama aquele de uma letra qualquer, por exemplo “b”, e põe por fora dessa integral um limite de b → ∞ . Isso vai fazer com que você consiga calcular a integral sossegado e depois avaliar o limite no infinito, beleza?

aplicando esse truquezinho temos o seguinte:

lim b → ∞ ⁡ ∫ 1 b 1 x 2 + 6 x + 13 d x

Vamos resolver essa integral separadamente!

Passo 5

A integral dentro do limite é:

∫ 1 b 1 x 2 + 6 x + 13 d x

#AVISOTRUQUESUJO

No denominador, vou escrever dessa forma aqui:

x 2 + 6 x + 13 = x 2 + 6 x + 9 + 4

Mas por quê? Por que assim consigo ter algo do tipo:

1 u 2 + a 2

E essa integral é tabelada! Relembrar é viver... então

∫ d x u 2 + a 2 = 1 a arctan ⁡ u a

Beleza até aqui?

Voltando ao denominador:

x 2 + 6 x + 9 + 4

Escrevendo em termos de produto notável e 4 = 2 2 temos:

x + 3 2 + 2 2

E aí nossa fração fica assim

1 x 2 + 6 x + 13 = 1 x + 3 2 + 2 2

E comparando com o que tínhamos

1 u 2 + a 2 = 1 x + 3 2 + 2 2

Com u = x + 3 , d u = d x e a 2 = 4 . Assim nossa integral é:

∫ 1 b 1 x 2 + 6 x + 13 d x = ∫ 1 b 1 x + 3 2 + 2 2 d x = 1 2 arctan ⁡ x + 3 2 1 b

= 1 2 arctan ⁡ b + 3 2 - 1 2 arctan ⁡ 2  

Vamos voltar ao nosso limite?

Passo 6

Queríamos avaliar esse limite aqui:

lim b → ∞ ⁡ ∫ 1 b 1 x 2 + 6 x + 13 d x

E resolvemos separadamente a integral, pegando o resultado que achamos no passo anterior e substituindo ali dentro do limite temos o seguinte:

lim b → ∞ ⁡ ∫ 1 b 1 x 2 + 6 x + 13 d x = lim b → ∞ ⁡ 1 2 arctan ⁡ b + 3 2 - 1 2 arctan ⁡ 2

Acontece que a função arco tangente tente à π / 2 no infinito!

Sendo assim

lim b → ∞ ⁡ ∫ 1 b 1 x 2 + 6 x + 13 d x = π 2 - 1 2 arctan ⁡ 2

Que é finito!

Então, se

∫ 1 ∞ f ( x ) d x = π 2 - 1 2 arctan ⁡ 2   ( n ú m e r o )

Então a série

∑ n = 1 ∞ a n = c o n v e r g e

Recapitulando as alternativas da letra (c):

Marcamos apenas a primeira alternativa!

Tranquilo? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

a )   f ' x = - ( 2 x + 6 ) x 2 + 6 x + 13 2

b )   d e c r e s c e n t e

c )       A série converge pelo teste da integral

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