Exercícios Resolvidos de Teste da Divergência

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Enunciado

Em relação à sequência s n n ∈ N dada por

s n = ∑ k = 1 n 1 k + 1   - 1 k

É correto afirmar que

  1. Diverge para - ∞
  2. Converge a 0
  3. Diverge para
  4. Converge a -1
  5. Converge a 1

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

Uma sequência numérica, como o próprio nome diz é uma sequência de ... números! Ok, mas será que serve qualquer número?

Não! Os números estão organizados por meio de alguma “lei”, e essa lei (ou termo geral) muda de exercício para exercício...

No nosso caso o termo geral é dado por

s n = ∑ k = 1 n 1 k + 1   - 1 k

Aquele s n é a soma de todos os termos do somatório. Mas como assim? Se tivermos

k = 1   n = 3

Precisamos achar todos os termos começando com k = 1 e indo de 1 em 1 até 3 .

Então nesse caso nosso s n é:

s 3 = 1 1 + 1 - 1 1 + 1 2 + 1 - 1 2 + 1 3 + 1 - 1 3

E se nosso n for outro? Não tem problema! Desde que ele seja um número natural (inteiro e positivo) está tudo bem!

s n é encontrado somando todos os termos desde n = 1 até n → ∞ , beleza?

Agora vamos voltar à nossa questão.

O problema nos deu essa sequência e perguntou qual das alternativas estão corretas:

  1. Diverge para - ∞
  2. Converge a 0
  3. Diverge para
  4. Converge a -1
  5. Converge a 1

O que ele quer saber é o comportamento dessa sequência quando n → ∞ ,   é isso que significa dizer se essa sequência diverge ou converge.

Uma sequência converge quando a soma dos termos vai convergindo para um número. E ela diverge quando a soma fica cada vez maior.

Então para determinar qual alternativa está correta, precisamos olhar termo a termo. Vamos lá?

Passo 2

Vamos olhar a nossa sequência:

s n = ∑ k = 1 n 1 k + 1   - 1 k

Para n = 1 temos

s 1 = 1 1 + 1 - 1 1 = 1 2 - 1

Para n = 2 temos (é o termo anterior mais com k = 2 ):

s 2 = 1 2 + 1 - 1 2 + 1 1 + 1 - 1 1 = 1 3 - 1 2 + 1 2 - 1 = 1 3 - 1

s 2 = 1 3 - 1

Para n = 3 temos (de novo é a soma do s 2 com o termo de k = 3 ):

s 3 = 1 3 + 1 - 1 3 + 1 2 + 1 - 1 2 + 1 1 + 1 - 1 1 = 1 4 - 1 3 + 1 3 - 1 2 + 1 2 - 1

s 3 = 1 4 - 1

Para n = 4 temos:

s 4 = 1 4 + 1 - 1 4 + 1 3 + 1 - 1 3 + 1 2 + 1 - 1 2 + 1 1 + 1 - 1 1 = 1 5 - 1 4 + 1 4 - 1 3 + 1 3 - 1 2 + 1 2 - 1

s 4 = 1 5 - 1

E assim em diante...

Mas calma! Vamos ver o comportamento no infinito agora! Vamos lá!

Passo 3

Cada vez que adicionamos um termo a essa sequência, o valor da soma do termo anterior some quase todo, ficando apenas o - 1 e o termo que tem como denominador a próxima posição, que é o 1 n + !

Resgatando os valores das somas dos n-ésimos termos que achamos no passo anterior temos o seguinte, saca só:

s 1 = 1 2 - 1

s 2 = 1 3 - 1

s 3 = 1 4 - 1

s 4 = 1 5 - 1

O s 5 a gente pode então dizer, seguindo a mesma lógica, que é

s 5 = 1 6 - 1

E assim em diante...

Assim a soma de n termos é

s n = 1 n - 1

Beleza?

Passo 4

Fazendo a soma de infinitos termos, ou seja, n → ∞ , temos o limite

lim n → ∞ ⁡ 1 n - 1 = 1 ∞ - 1 = - 1

Então nossa sequência converge para - 1 !

A alternativa correta é a (d)

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

d

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