Exercícios Resolvidos de Teste da Divergência

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Enunciado

Diga se as séries são convergentes ou divergentes:

b )   ∑ n = 1 ∞ s e n 3 π n 2 n + 1

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa série parece complicada, mas vou ajudar você aqui!

Para dizer se uma série diverge ou não, precisamos aplicar os testes! Mas qual escolher?

Então, o primeiro teste que aplicamos é o teste da divergência! Com esse teste, já sabemos logo de cara se a série diverge. Então é um bom teste para começar!

O teste da divergência nos diz o seguinte:

Seja uma série do tipo

∑ n = 1 ∞ a n

Se

lim n → ∞ ⁡ a n ≠ 0   ( o u   ∞ ,   o u   ∄ )

Então a série diverge

Caso o limite seja = 0 , não podemos afirmar nada sobre a convergência dela!

Então esse é um bom teste para se começar! Ele pode te poupar muito trabalho!

Que tal começarmos por ele?

Passo 2

Nossa série é:

∑ n = 1 ∞ s e n 3 π n 2 n + 1

Com

a n = s e n 3 π n 2 n + 1

Então, pelo teste da divergência, vamos ver como esse a n se comporta no infinito:

lim n → ∞ ⁡ s e n 3 π n 2 n + 1

A função seno é uma função limitada, isso significa que ela assume valores entre - 1 e 1 . Sempre!

Com isso, o limite não pode ser determinado!

lim n → ∞ ⁡ s e n 3 π n 2 n + 1 = ∄

Passo 3

Você lembra qual era uma das opções para uma série ser divergente? O limite não existir!

Então nossa série tem caráter divergente.

Ufa! Terminamos!

Bora para a próxima?

Resposta

d i v e r g e n t e

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