Exercícios Resolvidos de Teste da Divergência

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Enunciado

3 – Quais das seguintes séries numéricas convergem e quais divergem? Justifique sua resposta.

a) ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n 2 n - 1 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema queremos obter a convergência da série, ou seja, temos que mostrar se a série converge ou diverge.

Lembra como fazemos isso? 🤔

Nesses casos, temos que analisar a série que foi dada e tentar ver alguma característica que poderá nos auxiliar a escolher o melhor método que podemos usar pra obter a convergência da série.

Se isso não acontecer, o que temos que fazer é partir para a tentativa e erro...

Bora lá! 😁

Passo 2

Ao olharmos para a série

∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n 2 n - 1

É difícil visualizar para qual valor ln ⁡ n 2 n - 1 tende quando n vai para o infinito, então nesses casos é interessante começarmos pelo teste da divergência.

Esse teste diz que aplicando o limite em a n para n → ∞ e o resultado for diferente de 0 , a série diverge. Ou seja

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n 2 n - 1

Aqui podemos usar uma propriedade que diz que o limite de um l n é o l n do limite

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n 2 n - 1 = ln ⁡ lim n → ∞ ⁡ n 2 n - 1

Dividindo em cima e embaixo por n , temos

ln ⁡ lim n → ∞ ⁡ n / n 2 n / n - 1 / n = ln ⁡ lim n → ∞ ⁡ 1 2 - 1 / n

Como n tende ao infinito, 1 / n tende a 0 , portanto

lim n → ∞ ⁡ 1 2 - 1 / n = 1 2

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n 2 n - 1 = ln ⁡ 1 2

Ou também, como ln ⁡ a b = ln ⁡ a - ln ⁡ b , então

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n 2 n - 1 = ln ⁡ 1 - ln ⁡ 2

Se ln ⁡ 1 = 0 ...

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n 2 n - 1 = - ln ⁡ 2

Assim, como o resultado é diferente de 0 , a série diverge.

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

Diverge pelo teste da divergência.

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