Exercícios Resolvidos de Teste da Divergência

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Enunciado

Nos exercícios seguintes, verificar se as séries dadas são convergentes ou divergentes

e, no caso de convergência, dizer se é convergência absoluta ou condicional.

h )   ∑ n = 1 ∞ - 1 n n ln ⁡ ( n ) ln ⁡ ( ln ⁡ ( n ) )

Passo 1

Olá, tudo tranquilo? Precisamos decidir se essa série aqui

∑ n = 1 ∞ - 1 n n ln ⁡ n ln ⁡ ln ⁡ n

É convergente ou divergente. E em caso de convergência, dizer ainda se a convergência é absoluta ou condicional. Mas você lembra desses conceitos?

Dizemos que uma série converge absolutamente quando o módulo da série converge! E aqui você pode usar qualquer teste para ver isso!

E quando o módulo diverge? Aí aplicamos o teste das séries alternadas! Se a série alternada convergir, dizemos que a série converge condicionalmente.

E se a série alternada diverge? Então a série é divergente mesmo!

Mas pode ficar tranquilo, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa série positiva associada é

∑ n = 1 ∞ 1 n ln ⁡ n ln ⁡ ln ⁡ n

Agora a pergunta de milhões: qual teste escolher? Como temos um termo geral que já integramos alguma vez nessa vida: podemos usar o teste da integral

Relembrando dos critérios para a convergência

Supondo uma série do tipo

∑ n = 1 ∞ a n

Dizemos que

a n → f ( x )

e integramos de 1 (início da série) até

∫ 1 ∞ f ( x ) d x

  • Se ∫ f ( x ) d x convergir, então ∑ a n converge
  • Se ∫ f ( x ) d x divergir, então ∑ a n diverge

Tudo bem até aqui?

Agora vamos avaliar nossa série então:

∑ n = 1 ∞ 1 n ln ⁡ n ln ⁡ ln ⁡ n

Temos a n = 1 n ln ⁡ n ln ⁡ ln ⁡ n , logo f x = 1 x ln ⁡ ( x ) ln ⁡ ( ln ⁡ x ) , agora precisamos integrar!

Passo 3

Agora nossa missão é resolver a integral imprópria

∫ 2 ∞ 1 x ln ⁡ ( x ) ln ⁡ ( ln ⁡ x ) d x

x = 2 para que não dê problema no integrando em x = 1 , beleza?

Vamos resolver a integral indefinida primeiro, para depois só aplicar nos limites!

∫ 1 x ln ⁡ ( x ) ln ⁡ ( ln ⁡ x ) d x

Temos no integrando ln ⁡ ln ⁡ x e 1 x ln ⁡ x , isso significa que podemos usar substituição simples! Já que 1 x ln ⁡ x é a derivada do ln ⁡ ln ⁡ x !

u = ln ⁡ ln ⁡ x

d u = 1 x ln ⁡ x d x

Substituindo na integral temos

∫ 1 u d u = ln ⁡ u = ln ⁡ ( ln ⁡ ( ln ⁡ x ) )

Aplicando nos limites temos

lim A → ∞ ⁡ ∫ 2 ∞ 1 x ln ⁡ ( x ) ln ⁡ ( ln ⁡ x ) d x = lim A → ∞ ⁡ ln ⁡ ( ln ⁡ ( ln ⁡ x ) ) 2 A = lim A → ∞ ⁡ ln ⁡ ( ln ⁡ ( ln ⁡ A ) ) - ln ⁡ ( ln ⁡ ( ln ⁡ 2 ) )

A , temos que ln ⁡ ( ln ⁡ ( ln ⁡ A ) ) → ∞ e a integral explode! Dizemos portanto que a série

∑ n = 1 ∞ 1 n ln ⁡ n ln ⁡ ln ⁡ n

É divergente

Mas ela na verdade é alternada, então ainda podemos aplicar o teste das séries alternadas e verificar se a versão alternada dessa série converge!

Se o resultado for positivo, então dizemos que a série converge condicionalmente. Mas se falhar em algum dos critérios para convergência, aí a série é divergente mesmo

Bora aplicar o teste das séries alternadas?

Passo 4

O teste das séries alternadas noz diz que

Seja uma série

∑ n = 1 ∞ - 1 n a n

Para que seja uma série convergente, precisa que seja satisfeitos dois critérios

  1. a n + 1 < a n
  2. lim n → ∞ ⁡ a n = 0

Agora nossa missão é verificar se a nossa série se encaixa nesses critérios, bora lá?

Nossa série

∑ n = 1 ∞ - 1 n n ln ⁡ n ln ⁡ ln ⁡ n

Vamos começar calculando o limite:

lim n → ∞ ⁡ 1 n ln ⁡ n ln ⁡ ln ⁡ n = 0

Primeiro critério satisfeito com sucesso!

Agora vamos para o segundo:

a n = 1 n ln ⁡ n ln ⁡ ln ⁡ n

a n + 1 = 1 ( n + 1 ) ln ⁡ n + 1 ln ⁡ ln ⁡ n + 1

E comparando um com o outro

a n + 1 < a n

E assim temos o segundo critério também satisfeito!

Sendo assim, dizemos que a série converge condicionalmente!

Isso acontece já que a série em módulo diverge, mas a alternada converge.

Beleza pessoal? É isso! Espero ter ajudado!

Resposta

c o n v e r g e   c o n d i c i o n a l m e n t e

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