Exercícios Resolvidos de Teste da Divergência

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Enunciado

(Capítulo 11.5 – Exercício 3) Teste a série quanto a convergência ou divergência

- 2 5 + 4 6 - 6 7 + 8 8 - 10 9 + …

Passo 1

Faaala galera, vamos lá!

Esse exercício dá uma série pra gente:

- 2 5 + 4 6 - 6 7 + 8 8 - 10 9 + …

E aí queremos saber se ela é convergente ou divergente, ou seja, queremos saber se ela vai tendendo a algum determinado valor ou se ela explode pro infinito conforme a quantidade de termos aumenta, sacou?

Então para resolvermos esse exercício, vamos começar encontrando o termo geral e a razão dessa série, pra aí entendermos se ela converge ou diverge

Boraaa!

Passo 2

Temos

- 2 5 + 4 6 - 6 7 + 8 8 - 10 9 + …

Antes de testarmos se a série converge ou diverge, temos que escrever uma expressão pra sequência que nos foi dada, certo? Podemos notar algumas coisas se olharmos pra essa sequência: a primeira é que há alternância entre os sinais, a segunda é que o numerador é composto apenas por números pares e a terceira é que o denominador aumenta de começa em 5 e aumenta de um em um. Escrevendo uma série, teremos:

∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n n + 4

Opa, como a nossa série vai alternando os sinais entre positivo e negativo, podemos utilizar o teste da série alternada, isto é, provar que a série de formato genérico abaixo satisfaz duas condições:

∑ n = 1 ∞ - 1 n ± 1 b n

1. b n ≥ b n + 1 ;

2. lim n → ∞ ⁡ b n = 0

Se for satisfeito, então a série converge. Caso contrário, diverge. Então bora lá!

Passo 3

Nossa série é

∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n n + 4

Chamando b n = 2 n n + 4 , temos que b n + 1 = 2 ( n + 1 ) n + 1 + 4 = 2 n + 2 n + 5

Uai, mas aí já temos um contraexemplo de que não é verdadeiro que b n ≥ b n + 1 , porque se fizemos n = 1 , por exemplo, já temos

b n = 2.1 1 + 4 = 2 5

Enquanto:

b n + 1 = 2 + 2 1 + 5 = 4 6

Como 4 6 > 2 5 , temos que b n + 1 pode ser maior que b n , então a primeira condição já não é satisfeita

Dessa forma, podemos concluir que a série que nos foi dada é divergente.

Resposta

- 2 5 + 4 6 - 6 7 + 8 8 - 10 9 + … é   d i v e r g e n t e

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