Enunciado

Utilize os testes de convergência para determinar se as séries são convergentes ou divergentes

h )   ∑ n = 1 ∞ 1 - cos ⁡ 1 n

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão está no final de uma longa lista, vamos resolver esse penúltimo item? (o restante dela você pode encontrar no nosso site!)

Precisamos decidir se essa série

∑ n = 1 ∞ 1 - cos ⁡ 1 n

Converge ou diverge

E qual teste usar? Essa é a pergunta de milhões! Bom, olhando com carinho essa série vemos que quando n → ∞ seu termo geral

a n = 1 - cos ⁡ 1 n = 1 - cos ⁡ 0 = 1 - 1 = 0

E esse é o primeiro teste: o teste da divergência. Avaliando o limite do termo geral quando n → ∞ , podemos ter duas conclusões:

  1. Se esse limite for diferente de zero: a série é divergente
  2. Se esse limite for igual a zero: nada podemos garantir sobre a série

Então até agora não garantimos nada!

Mas tem um teste interessante que podemos aplicar quando o limite do termo geral quase se parece com um limite fundamental: teste da comparação dos limites

O teste da comparação dos limites avalia o comportamento no infinito da razão entre dois termos gerais: o da série que queremos descobrir o comportamento ( a n ) e o termo geral de uma série que conhecemos o comportamento ( b n )

ρ = lim n → ∞ ⁡ a n b n

Aqui podemos ter dois cenários (e duas conclusões diferentes):

  1. Se ρ > 0 (precisa ser um número finito): ambas as séries possuem o mesmo comportamento
  2. Se ρ = 0 ou : nada podemos concluir!

Então como o limite do termo geral é zero, é interessante que nossa série comparativa tenha também esse comportamento (e convergente, pois é isso que queremos mostrar)

Bora começar?

Vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa série é a seguinte

∑ n = 1 ∞ 1 - cos ⁡ 1 n

E vamos usar para comparar uma série do tipo:

∑ n = 1 ∞ 1 n 2

Porque ela é convergente e vai ajudar a gente na hora de calcular o limite!

Precisamos achar

ρ = lim n → ∞ ⁡ a n b n

Com

a n = 1 - cos ⁡ 1 n   ; b n = 1 n 2

Agora #partiu calcular esse limite

ρ = lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ 1 - cos ⁡ 1 n 1 n 2 = 0 0 ⏝ L ' H o p i t a l

Opa! Encontramos uma indeterminação! Precisamos sair dela!

Passo 3

Derivando em cima e embaixo, e avaliando novamente o limite temos

ρ = lim n → ∞ ⁡ 1 - cos ⁡ 1 n ' 1 n 2 ' = lim n → ∞ ⁡ s e n 1 n . - 1 2 n 2 - 2 n 3 = lim n → ∞ ⁡ 1 2 . s e n 1 n 1 n

Como o fator 1 2 independe de n , podemos trazer ele para fora do limite, assim temos

lim n → ∞ ⁡ 1 2 . s e n 1 n 1 n = 1 2 lim n → ∞ ⁡ s e n 1 n 1 n ⏝ s e n A A → 1

Encontramos um limite fundamental no caminho! Oba! Assim nosso limite fica

ρ = 1 2 . 1 = 1 2 > 0

Então o limite da razão dos termos gerais resultou em um resultado positivo e finito! Isso significa que as duas séries possuem o mesmo comportamento

Portanto, como a série

∑ n = 1 ∞ 1 n 2

É uma p-série com p = 2 > 1 e convergente, então a nossa série

∑ n = 1 ∞ 1 - cos ⁡ 1 n

É convergente!

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

c o n v e r g e n t e

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