Exercícios Resolvidos de Teste da Divergência

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Enunciado

Nos exercícios seguintes, verificar se as séries dadas são convergentes ou divergentes

e, no caso de convergência, dizer se é convergência absoluta ou condicional.

e )   ∑ n = 1 ∞ m m - 1 … ( m - n + 1 ) 2 n n !

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Precisamos decidir se essa série aqui

∑ n = 1 ∞ m m - 1 … ( m - n + 1 ) 2 n n !

É convergente ou divergente. E em caso de convergência, dizer ainda se a convergência é absoluta ou condicional. Mas você lembra desses conceitos?

Dizemos que uma série converge absolutamente quando o módulo da série converge! E aqui você pode usar qualquer teste para ver isso!

E quando o módulo diverge? Aí aplicamos o teste das séries alternadas! Se a série alternada convergir, dizemos que a série converge condicionalmente.

E se a série alternada diverge? Então a série é divergente mesmo!

Mas pode ficar tranquilo, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa série é

∑ n = 1 ∞ m m - 1 … m - n + 1 2 n n !

Agora a pergunta de milhões: qual teste escolher? Como temos uma razão de polinômio com exponencial: podemos usar o teste da razão para convergência absoluta

Relembrando dos critérios para o teste da razão:

Supondo uma série do tipo

∑ n = 1 ∞ a n

Fazendo

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Temos três cenários

  • Se L < 1 : dizemos que a série converge absolutamente
  • Se L > 1 : dizemos que a série diverge
  • Se L = 1 : teste é inconclusivo

Nossa missão agora é determinar a razão a n + 1 / a n :

a n + 1 a n = m m - 1 … m - ( n + 1 ) + 1 2 n + 1 ( n + 1 ) ! . 2 n n ! m m - 1 … m - n + 1

Tudo bem até aqui? Podemos simplificar mais um pouco! Abrindo os fatoriais e os exponenciais temos

a n + 1 a n = m - n 2 ( n + 1 ) ( m - n + 1 )

Agora vamos avaliar o limite!

Passo 3

Agora vamos calcular o limite!

lim n → ∞ ⁡ m - n 2 ( n + 1 ) ( m - n + 1 )

n por , mas aí temos uma indeterminação do tipo ∞ ∞ . Nessas ocasiões, podemos pensar que no infinito irão se sobrepor os termos de maior expoente! sendo assim, podemos desconsiderar os outros termos

Aí nosso limite fica

L = lim n → ∞ ⁡ m - n 2 ( n + 1 ) ( m - n + 1 ) ≃ lim n → ∞ ⁡ - n - 2 n 2

lim n → ∞ ⁡ 1 2 n = 1 ∞ = 0

E esse valor é menor do que 1 ! Isso significa que nossa série converge absolutamente!

Vamos para mais uma questão?

Resposta

c o n v e r g e   a b s o l u t a m e n t e

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