Exercícios Resolvidos de Teste da Divergência

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Enunciado

Considere a função f x = 3 x x 4 + 3 e a série ∑ n = 1 + ∞ 3 n n 4 + 3 . Determine a afirmação verdadeira.

Escolha uma opção:

a. ∫ 1 + ∞ f x d x = π / ( 2 3 ) e a série converge.

b. ∫ 1 + ∞ f x d x = π e a série diverge.

c. ∫ 1 + ∞ f x d x = π / ( 4 3 ) e a série converge.

d. ∫ 1 + ∞ f x d x = + ∞ e a série converge.

e. ∫ 1 + ∞ f x d x = π / ( 2 3 ) e a série diverge.

f. ∫ 1 + ∞ f x d x = π / 3 e a série diverge.

g. ∫ 1 + ∞ f x d x = π / 3 e a série converge.

h. ∫ 1 + ∞ f x d x = π e a série converge.

i. ∫ 1 + ∞ f x d x = + ∞ e a série diverge.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma função:

f x = 3 x x 4 + 3

E uma série:

∑ n = 1 + ∞ 3 n n 4 + 3

E pediu pra gente verificar a integral imprópria da função, ∫ 1 + ∞ f x d x , e verificar se a série converge ou diverge. Percebeu que a função é bem parecida com o termo geral da série? Como isso pode nos ajudar?

Bom, existe um teste chamado teste da integral, que nos diz que se f é uma função contínua, positiva e descrecente em [ 1 ,   ∞ ) e se a n = f ( n ) , então

- Se ∫ 1 ∞ f x d x for convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n converge

- Se ∫ 1 ∞ f x d x for divergente, então ∑ n = 1 ∞ a n diverge

Beleza, então o que nós precisamos fazer é calcular a integral:

∫ 1 ∞ f x d x = ∫ 1 ∞ 3 x x 4 + 3 d x

A gente apenas substituiu o x   no lugar do n e jogou na integral, então vamos lá calcular agora!

Passo 2

Galera, a nossa integral é essa aqui:

∫ 1 ∞ 3 x x 4 + 3 d x

Mas não seria legal se a gente pudesse transformar ela em uma integral com o resultado conhecido? Tipo essa aqui:

∫ 1 x 2 + 1 d x = tan - 1 ⁡ x + C

A notícia boa é que nós podemos fazer isso. Mas precisar chegar lá a gente vai precisar de alguns truques e substituições. Vamos começar fazendo:

u = x 2

d u = 2 x   d x → 1 2 d u = x d x

Substituindo na integral original, temos:

∫ 1 ∞ 3 2 ( u 2 + 3 ) d u

Colando a constante pra fora da integral:

3 2 ∫ 1 ∞ 1 u 2 + 3 d u

Passo 3

Falta pouco pra gente conseguir que nossa integral tenha essa cara ∫ 1 x 2 + 1 d x , só falta a gente transformar aquele 3 do denominador em 1 . Pra isso, vamos usar o truque de chamar:

u = v 3

d u = d v 3

Substituindo na integral, temos:

3 2 ∫ 1 ∞ 1 u 2 + 3 d u = 3 2 ∫ 1 ∞ 1 / 3 v 3 2 + 1 d v

Voltando pra variável u , nós temos:

3 2 ∫ 1 ∞ 1 3 1 u 2 + 1 3   d u

Jogando as constantes pra fora da integral:

3 2 3 ∫ 1 ∞ 1 u 2 + 1   d u

E olha só, agora podemos resolver nossa integral:

3 2 3 arctan ⁡ u 3 1 ∞

Lembra que lá em cima nós definimos u = x 2 , então temos:

3 2 3 arctan ⁡ x 2 3 1 ∞

Vamos analisar os limites de integração agora. Quando a x vai pra infinito, a nossa função se aproxima de π / 2 e quando x = 1 a nossa função é igual a π / 4 . Isso fica mais claro no gráfico:

Substituindo, nós temos:

3 2 3 arctan ⁡ x 2 3 1 ∞ = 3 π 4 - π 4 3

Simplificando:

= π 2 3

Sendo assim, como nossa integral é convergente, a nossa série também converge pelo teste da integral. E nós podemos marcar a alternativa a.

E encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

a .   ∫ 1 + ∞ f x d x = π / ( 2 3 ) e   a   s é r i e   c o n v e r g e .

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