Exercícios Resolvidos de Teste da Divergência

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Enunciado

Os termos de uma série são definidos recursivamente pelas equações

a 1 = 2

a n + 1 = 5 n + 1 4 n + 3 a n

Em relação à série ∑ k = 1 ∞ a k   é correto dizer:

  1. Diverge, pois lim n → ∞ ⁡ a n = ∞
  2. Diverge, pois ∑ k = 1 ∞ a k ≥ ∑ k = 1 ∞ 5 k + 1 4 k + 3 k e ∑ k = 1 ∞ 5 k + 1 4 k + 3 k diverge
  3. Diverge, pois lim n → ∞ ⁡ a n = 0
  4. Converge, pois ∑ k = 1 ∞ a k ≤ ∑ k = 1 ∞ 5 k + 1 4 k + 3 k e ∑ k = 1 ∞ 5 k + 1 4 k + 3 k converge

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você!

O problema nos deu os termos de uma série:

a 1 = 2

a n + 1 = 5 n + 1 4 n + 3 a n

E perguntou em relação a ∑ k = 1 ∞ a k , ou seja, quando somarmos todos os termos, desde n = 1 até n → ∞ , o que acontece com essa série?

Veja bem, sempre que falamos em séries, o primeiro teste que aplicamos para verificar se a série diverge ou converge é o teste da divergência

Esse teste nos diz que se o limite do termo geral a n de uma sequência é infinito, então essa série é divergente. Se o limite for zero, então não podemos afirmar nada sobre essa série.

É o primeiro teste que a gente aplica! Se o limite der infinito, então essa série já é divergente e não precisamos ficar queimando a cabeça para achar outro teste!

Beleza?

Sendo assim, a ideia é a partir da fórmula de recorrência, achar uma expressão para a n . Ou pelo menos ver para onde vão os termos dessa série

Se os termos a n sempre aumentarem conforme o n aumenta, então podemos afirmar que lim n → ∞ ⁡ a n = ∞ , e assim marcamos a primeira alternativa e corremos para o abraço!

Caso esse limite seja zero, então precisaremos recorrer a outro teste!

Mas fica tranquilo, pois vou resolver passo a passo com você!

Bora lá?

Passo 2

As fórmulas de recorrência são:

a 1 = 2

a n + 1 = 5 n + 1 4 n + 3 a n

Então a partir de n = 1 , vamos descobrir quais são os próximos termos dessa série:

a 1 + 1 = 5.1 + 1 4.1 + 3 a 1 = 6 7 a 1

a 2 = 6 7 a 1

Beleza? Vamos achar os próximos termos para ver o que acontece?

a 3 = 5.2 + 1 4.2 + 3 a 2 = 11 11 . 6 7 a 1

a 4 = 5.3 + 1 4.3 + 3 a 3 = 16 15 . 11 11 . 6 7 a 1

a 5 = 5.4 + 1 4.4 + 3 a 4 = 21 19 . 16 15 . 11 11 . 6 7 a 1

E assim em diante...

a 6 = 26 23 . 21 19 . 16 15 . 11 11 . 6 7 a 1

a 7 = 31 27 . 26 23 . 21 19 . 16 15 . 11 11 . 6 7 a 1

Passo 3

Vemos que, a partir do termo a 3 , vamos sempre ter um numerador maior do que o denominador, isso significa que somamos na série cada vez termos maiores! Isso significa que para n → ∞ :

lim n → ∞ ⁡ a n = ∞

E qual a implicação direta aqui? Que essa série diverge!

Então a alternativa correta é a (a).

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

a

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