Exercícios Resolvidos de Teste da Divergência

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Enunciado

Selecione as afirmações corretas

a ) Uma série condicionalmente convergente é convergente.

b ) Uma série condicionalmente convergente é absolutamente convergente, mas não convergente.

c ) Existem séries condicionalmente convergentes que são divergentes.

d ) Existem séries absolutamente convergentes que são condicionalmente convergentes.

e ) Uma série condicionalmente convergente é absolutamente convergente.

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

O enunciado pede para verificarmos a veracidade das seguintes afirmações

a ) Uma série condicionalmente convergente é convergente.

b ) Uma série condicionalmente convergente é absolutamente convergente, mas não convergente.

c ) Existem séries condicionalmente convergentes que são divergentes.

d ) Existem séries absolutamente convergentes que são condicionalmente convergentes.

e ) Uma série condicionalmente convergente é absolutamente convergente.

Bem… acho que vale a pena lembrarmos o que é uma série condicionalmente convergente e absolutamente convergente! E, então verificar as afirmativas, certo? Saca só!

Passo 2

Se tivermos uma série da forma ∑ n = 1 ∞ a n , a convergência pode ser dada em duas formas

1 . Absolutamente convergente se a série ∑ n = 1 ∞ | a n | também for convergente.

2 . Condicionalmente convergente se a série ∑ n = 1 ∞ | a n | diverge, mas a série ∑ n = 1 ∞ a n é convergente.

Belezinha, temos estas duas definições! Vamos analisar as afirmativas agora!

Passo 3

Primeira alternativa, uma série condicionalmente convergente é convergente? SIM, note pela definição 2 no passo anterior que é necessário que ∑ n = 1 ∞ a n seja convergente! Beleza, a primeira alternativa é correta. Qual a segunda?

Uma série condicionalmente convergente é absolutamente convergente, mas não convergente? NÃO! Note, que a série condicionalmente convergente tem que ∑ n = 1 ∞ | a n | diverge, e é necessário que esta série convirja para que a série ∑ n = 1 ∞ a n seja absolutamente convergente! Vamos para a próxima afirmativa!

Passo 4

Existem séries condicionalmente convergentes que são divergentes? Não também! A própria definição de condicionalmente converge pede que ∑ n = 1 ∞ a n seja convergente. Por último podemos avaliar as duas últimas alternativas de uma vez só!

Uma série absolutamente convergente pode ser condicionalmente convergente? Não, note que se a série é absolutamente convergente, temos que ∑ n = 1 ∞ | a n | é convergente, então elas não podem ser condicionalmente convergentes! Da mesma forma, uma série condicionalmente convergente não pode ser absolutamente convergente!

A questão é isso! A única alternativa correta é a primeira alternativa! Bora para a próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Afirmativa a ) é correta!

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