Exercícios Resolvidos de Teste da Divergência

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Enunciado

2) Considere a série ∑ n = 1 ∞ a n , sendo a n como na questão anterior.

iii) Mostre que a série é divergente.

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão temos uma série da sequência dada na questão anterior, ou seja, a n = a n - 1 e a 1 = 1 / 64 .

O que queremos é mostrar que a série é divergente.

Tem ideia do que temos que fazer? 🤔

Quando falamos de séries, as coisas funcionam um pouco diferente em relação às sequências...

Em sequências, associamos sua convergência no valor que seus termos tendem a assumir para n → ∞ .

Mas em séries, associamos sua convergência no valor da soma dos termos de a n para n → ∞ .

Entendeu a diferença? 😐

Passo 2

Então se temos uma série dada por ∑ a n cujo limite de a n não tende a 0 no infinito, dizemos que essa série diverge já que os termos de a n n ≫ 0 vão continuar somando valores significativos, fazendo com que a soma dos termos não estabilize em um valor.

Então temos que mostrar que nosso a n tende a um valor diferente de 0 .

Vamos olhar apenas para a sequência a n ...

O que temos é que dado que o termo a 1 = 1 64 e a sequência segue a solução

a n = a n - 1

Ou seja, o termo anterior é a raiz do termo atual, logo, podemos escrever os primeiros termos da sequência como

S = 1 64 , 1 8 , 1 2 2 …

Perceba que conforme os termos vão passando, o numerador diminui. Ou seja, nossa sequência é crescente.

Porém, perceba que essa crescente é amortecida rapidamente já que o denominador sempre vai diminuindo em um ritmo cada vez menor.

Se continuássemos a escrever os termos dessa sequência, iriamos perceber que o denominador iria se aproximar cada vez mais de 1 .

Logo, resultando em 1 / 1 no limite.

lim n → ∞ ⁡ a n = 1

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

lim n → ∞ ⁡ a n = 1

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