Exercícios Resolvidos de Teste da Divergência

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Enunciado

(Capítulo 11.4 – Exercício 21) Determine se a série converge ou diverge.

∑ n = 1 ∞ n + 2 2 n 2 + n + 1

Passo 1

Oii galera, vamos lá? Nessa questão temos essa série:

∑ n = 1 ∞ n + 2 2 n 2 + n + 1

E aí queremos saber se ela converge (tende a um valor finito) ou diverge (explode para o infinito)

Para saber se essa série converge, vamos usar o teste da comparação de limite.

Este teste funciona da seguinte forma: vamos comparar duas séries, uma de convergência conhecida b n e outra não ( a n ) e então calculamos o seguinte limite

lim n → ∞ ⁡ a n b n = c

Se c for um número finito e c > 0 , ambas as séries convergem ou ambas divergem (dependendo do que conhecemos sobre b n )

Então boraaaa

Passo 2

Neste caso a série que queremos comparar é a de termo

a n = n + 2 2 n 2 + n + 1

Para comparar, usaremos a série harmônica, que se parece muito com o a n que temos:

b n = n n 2

A princípio, já sabemos que a série com termo b n converge

Agora vamos testar o limite: se lim n → ∞ ⁡ a n b n for finito e maior do que 0, a série de termo a n também diverge

Passo 3

Vamos calcular o limite

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ n + 2 2 n 2 + n + 1 n n 2

Fazendo a divisão de frações

= lim n → ∞ ⁡ n + 2 2 n 2 + n + 1 ⋅ n 2 n

Vamos dividir em duas frações

= lim n → ∞ ⁡ n + 2 n ⋅ n 2 2 n 2 + n + 1

Colocando n em evidencia na raiz e n 2 na segunda fração

= lim n → ∞ ⁡ n 1 + 2 n n ⋅ n 2 n 2 2 + 1 n + 1 n 2 = lim n → ∞ ⁡ n 1 + 2 n n ⋅ n 2 n 2 2 + 1 n + 1 n 2

Simplificando n e n 2

= lim n → ∞ ⁡ 1 + 2 n 1 ⋅ 1 2 + 1 n + 1 n 2 = 1 ⋅ 1 2 = 1 2

Como 1 / 2 > 0 e a série

∑ n = 1 ∞ n n 2

É uma série-p com p = 1,5 que é maior que 1 e converge, nossa série

∑ n = 1 ∞ n + 2 2 n 2 + n + 1

Também converge.

Resposta

Converge.

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