Exercícios Resolvidos de Teste da Divergência

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Enunciado

(Capítulo 11.4 – Exercício 31) Determine se a série converge ou diverge.

∑ n = 1 ∞ sen ⁡ 1 n

Passo 1

Oii galera, vamos lá? Nessa questão temos essa série:

∑ n = 1 ∞ sen ⁡ 1 n

E aí queremos saber se ela converge (tende a um valor finito) ou diverge (explode para o infinito)

Para saber se essa série converge, vamos usar o teste da comparação de limite.

Este teste funciona da seguinte forma: vamos comparar duas séries, uma de convergência conhecida b n e outra não ( a n ) e então calculamos o seguinte limite

lim n → ∞ ⁡ a n b n = c

Se c for um número finito e c > 0 , ambas as séries convergem ou ambas divergem (dependendo do que conhecemos sobre b n )

Então boraaaa

Passo 2

Neste caso a série que queremos comparar é a de termo

a n = sen ⁡ 1 n

Para comparar, usaremos a série harmônica, que se parece muito com o a n que temos:

b n = 1 n

A princípio, já sabemos que a série com termo b n diverge

Agora vamos testar o limite: se lim n → ∞ ⁡ a n b n for finito e maior do que 0, a série de termo a n também diverge

Passo 3

Vamos calcular o limite

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ sen ⁡ 1 n 1 n

O limite fundamental trigonométrico nos diz que

lim x → a ⁡ sen ⁡ b b = 1

Quando

lim x → a ⁡ b = 0

Então

lim n → ∞ ⁡ sen ⁡ 1 n 1 n = 1

Como 1 > 0 e a série harmônica diverge, então

∑ n = 1 ∞ sen ⁡ 1 n

Também diverge.

Resposta

Diverge.

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Vimos que a série harmônica é uma série divergente cujos termostendem a 0. Mostre que ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ 1 + 1 n também é uma série com essa propriedade.
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