Exercícios Resolvidos de Teste da Divergência

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Enunciado

Seja a n n ∈ N cujo enésimo termo é dado por:

a n = ∫ 1 n s e n 1 x 2 d x ,

Para todo n ≥ 0 . Então a sequência a n n ∈ N converge?

Escolha uma opção:

Verdadeiro

Falso

Passo 1

Oi, pessoal, tudo bem?

O problema nos deu uma sequência

a n = ∫ 1 n s e n 1 x 2 d x

E perguntou se ela converge!

E aqui já aviso! Vai ter truque sujo! Mas calma, vou fazer com você!

Vamos lá?

Lembrando que n ∈ N , então na verdade o que temos é o somatório de s e n 1 n 2 quando n = 1 até n → ∞ . Ao somatório de uma sequência chamamos de série! Então nossa série é:

∑ n = 1 ∞ s e n 1 n 2

Então nos resta saber se essa série converge ou não

Passo 2

Para identificarmos se a série converge ou não, precisamos saber se vamos sempre somar um valor que aumenta no somatório. Ou seja, se a n + 1 > a n , então vamos somar ao termo anterior um número maior, e no infinito, nossa série vai divergir. Se a n + 1 < a n , então nossa série é convergente

Então, agora basta sabermos se s e n 1 n 2 é maior ou menor do que s e n 1 n + 1 2   .

Passo 3

O menor valor que n pode assumir é n = 1 , então o maior valor do seno é:

a 1 = s e n 1 1 2 = s e n 1 = 0,017

Beleza?

Vamos ver se a esse valor, vamos somar um valor maior ou menor?

Calculando o a 2 :

a 2 = s e n 1 2 2 = s e n 1 4 = 0,0043

Opa! O segundo termo já foi bem menor do que o primeiro!

Vamos testar mais um?

a 3 = s e n 1 9 = 0,0019

Encontramos um valor menor ainda!

Isso significa que nossa série é limitada superiormente por s e n ( 1 ) , que é o maior valor que vamos somar na nossa sequência.

Quando n → ∞ , o valor de 1 n 2 → 0 , e sabemos que s e n 0 = 0

Sendo assim, a sequência dada no exercício é sim convergente. Portanto a afirmativa é verdadeira!

Até a próxima!

Resposta

V e r d a d e i r o

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