Exercícios Resolvidos de Teste da Divergência

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Enunciado

1 – Teste a convergência ou divergência das séries, mencione o teste utilizado.

e) ∑ 5 0,5 n - 2

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão foi dada uma série e o que temos que fazer é determinar se essa série converge ou diverge.

A série em questão é dada como

∑ 5 0,5 n - 2

Existem vários métodos para determinar se a série é convergente ou divergente.

Mas quando temos uma série que desconfiamos que seja divergente, usamos o teste da divergência.

Conhece esse teste? 🤔🤔

O ideal seria usar esse teste em todos os casos como o primeiro teste, mas com o tempo, nós criamos um feeling sobre as séries, então é muito importante praticar!

Voltando ao problema, ao aplicarmos o teste da divergência calculamos na verdade estamos calculando o limite de a n , para n tendendo ao infinito.

Se o limite resultar em um valor diferente de 0 , a série diverge, caso o contrário, não podemos afirmar nada.

Bora ver no nosso problema? 😎

Passo 2

Nesse caso, a n = 5 0,5 n - 2 , então montando o limite pelo teste da divergência...

lim n → ∞ ⁡ a n

lim n → ∞ ⁡ 5 0,5 n - 2

Se substituirmos n por , vamos chegar em

5 0,5 ∞ - 2

Vamos analisar esse termo 0,5 ∞ .

Podemos imaginar que esse termo vai para o infinito, não é? Mas veja só, quanto é 2 2 ? 2 · 2 = 4 , não é?

E quanto é 1 2 ? 1 · 1 = 1 .

Mas quanto é 0,1 2 ? 0,1 · 0,1 = 0,01 ... no primeiro caso, o valor resultante foi um numero maior que a base do expoente, já no último, o resultado foi um valor menor que o valor da base do expoente.

Isso porque se a base do expoente for maior que 1 , o resultado é um número maior, mas se for menor, o número resultante é menor.

Portanto, um número menor que 1 elevado ao infinito resulta em um número tão pequeno que podemos considerar que seja 0 .

Ou seja

lim n → ∞ ⁡ 5 0,5 n - 2 = lim n → ∞ ⁡ 5 0 - 2

Dessa forma, o limite de a n resulta em

lim n → ∞ ⁡ - 5 2 = - 5 2

O limite de uma constante é a própria constante.

Como é um valor diferente de 0 , como explicamos no passo 1, a série diverge!

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

Diverge pelo teste da divergência.

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