Exercícios Resolvidos de Teste da Divergência

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Enunciado

Seja ∑ k = 1 ∞ a k uma série de termos positivos tal que

a k + 1 a k ≥ r k

Para algum r > 1

Em relação à convergência da série, é correto afirmar que:

  1. Não se pode dizer nada
  2. Diverge
  3. Converge

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar? Mais um pouco de séries!

O problema começa nos dando essa relação entre os termos de uma série

a k + 1 a k ≥ r k

E pediu para dizermos se ela é convergente ou divergente

Vamos arrumar um pouco a informação que ele está nos dando!

a k + 1 ≥ r k a k

Isso significa que o termo posterior está relacionado com o anterior, e é sempre maior do que aquele produto ali ( r k a k )

Então na realidade estamos falando se o termo geral cresce ou não! Estamos falando do

Teste da divergência

Vamos relembrar o que esse teste nos diz?

Então a ideia é relacionar a informação dada com esse teste!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

A relação entre os termos gerais foi

a k + 1 a k ≥ r k → a k + 1 ≥ a k r k

E ele também nos disse que r > 1 , então o primeiro critério já está satisfeito!

Os termos dessa série vão sempre crescendo!

Vamos agora ver o segundo critério

lim n → ∞ ⁡ a k = ∞

Como os termos vão crescendo, podemos concluir que no infinito o termo geral explode!

Isso nos diz que a série que tem como termo geral essa relação aqui

a k + 1 a k ≥ r k

É divergente

E a alternativa que nos diz isso é a (b)

Beleza? Espero ter ajudado! Bora treinar mais?

Até a próxima!

Resposta

( b )

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