Exercícios Resolvidos de Teste da Divergência

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Enunciado

Em relação à sequência s n n ∈ N dada por

s n = ∑ k = 1 n k 2

É correto afirmar que

  1. Diverge para
  2. Diverge para - ∞
  3. Converge a 0
  4. Converge a 1
  5. Oscila entre -1 e 1

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

Uma sequência numérica, como o próprio nome diz é uma sequência de ... números! Ok, mas será que serve qualquer número?

Não! Os números estão organizados por meio de alguma “lei”, e essa lei (ou termo geral) muda de exercício para exercício...

No nosso caso o termo geral é dado por

s n = ∑ k = 1 n k 2

Aquele s n é a soma de todos os termos do somatório. Mas como assim? Se tivermos

k = 1   n = 3

Então nosso s n é:

s 3 = 1 2 + 2 2 + 3 2

E se nosso n for outro? Não tem problema! Desde que ele seja um número natural (inteiro e positivo) está tudo bem!

s n é encontrado somando todos os termos desde 1 2 até n 2 , beleza?

Agora vamos voltar à nossa questão.

O problema nos deu essa sequência e perguntou qual das alternativas estão corretas:

  1. Diverge para
  2. Diverge para - ∞
  3. Converge a 0
  4. Converge a 1
  5. Oscila entre -1 e 1

O que ele quer saber é o comportamento dessa sequência quando n → ∞ ,   é isso que significa dizer se essa sequência diverge ou converge.

Uma sequência converge quando a soma dos termos vai convergindo para um número. E ela diverge quando a soma fica cada vez maior.

Ela oscila entre - 1 e 1 quando o resultado da soma ora é 1 ora é -1.

Então para determinar qual alternativa está correta, precisamos olhar termo a termo. Vamos lá?

Passo 2

Vamos olhar a nossa sequência:

s n = ∑ k = 1 n k 2

Para n = 1 temos

s 1 = 1 2 = 1

Para n = 2 temos:

s 2 = 1 2 + 2 2 = 5

Para n = 3 temos:

s 3 = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14

Para n = 4 temos:

s 4 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 = 30

E assim em diante...

E aí nossa soma de n termos

s n = 1 2 + 2 2 + … + n 2

Passo 3

Cada vez que adicionamos um termo a essa sequência, o valor da soma aumenta

Primeiro achamos 1 depois 5 , depois 14 e no quarto termo já estava em 30 ! Então quer dizer que quando o número de termos é muito grande, ou seja, quando n → ∞ a soma de n temos é

lim n → ∞ ⁡ 1 2 + 2 2 + … + n 2 = + ∞

s n → ∞

Obs: a soma diverge para + ∞ , pois todos os números n são positivos e estão sendo elevados ao quadrado.

Assim dizemos que a sequência diverge para + ∞

E a alternativa correta é a (a)

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

a

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