Exercícios Resolvidos de Teste da Divergência

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Enunciado

Considere as seguintes séries:

A   ∑ n = 1 ∞ 1 n - 1 n + 1

B   ∑ n = 0 ∞ s e n   n - s e n   n + 1

Podemos afirmar que:

a) Ambas as séries são divergentes.

b) A série (A) é convergente com soma 1 e a série (B) é divergente.

c) A série (A) é divergente e a série (B) é convergente com soma 0 .

d) A série (A) é convergente com soma 1 e a série (B) é convergente com soma 0 .

e) A série (A) é convergente com soma 0 e a série (B) é convergente com soma 1 .

Passo 1

Fala galera, prontos para mais uma questão divertida de séries? Essa aqui é uma das minhas favoritas!

O problema fornece duas séries e temos que avaliar se elas convergem ou não. Se elas convergirem, temos que achar o valor da soma também!

O legal desse problema é que as duas séries são séries telescópicas! Vamos entender o que é isso com bastante calma. Para isso, vou abrir a soma (A) termo a termo:

∑ n = 1 N 1 n - 1 n + 1 = 1 1 - 1 2 + 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 + … + 1 N - 1 - 1 N + 1 N - 1 N + 1

Note que vários termos vão se cancelando dois a dois, sobrando apenas:

∑ n = 1 N 1 n - 1 n + 1 = 1 - 1 N + 1

Fazendo N → ∞ , o último termo desaparece, restando

∑ n = 1 ∞ 1 n - 1 n + 1 = 1

Vemos que a série (A) é convergente e sua soma é 1 .

Esse tipo de série é chamada telescópica pois todos os termos se cancelam, sobrando apenas o primeiro e o último!

Passo 2

Vamos olhar agora para a segunda série:

B   ∑ n = 0 ∞ s e n   n - s e n   n + 1

Abrindo a soma:

∑ n = 0 N s e n   n - s e n   n + 1 = s e n   0 - s e n   1 + s e n   1 - s e n   2 + … + s e n   N - s e n   N - 1

Com todos os cancelamentos:

∑ n = 0 N s e n   n - s e n   n + 1 = s e n   0 - s e n   N - 1 = - s e n   ( N - 1 )

Acontece que agora, quando fazemos N → ∞ , o limite não existe pois o seno fica oscilando loucamente. Portanto, a série (B) é divergente!

Passo 3

Como a série (A) converge para 1 e a série (B) diverge, a alternativa correta é alternativa B!

Eu gosto muito desse tipo de questão porque ela foge um pouco do usual, não temos que usar nenhum critério para ver se a série converge ou não, apenas um pouco de criatividade 😊

Resposta

Alternativa B.

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