Exercícios Resolvidos de Teste da Divergência

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Enunciado

(Capítulo 11.4 – Exercício 30) Determine se a série converge ou diverge.

∑ n = 1 ∞ n ! n n

Passo 1

Oii galera, vamos lá? Nessa questão temos essa série:

∑ n = 1 ∞ n ! n n

E aí queremos saber se ela converge (tende a um valor finito) ou diverge (explode para o infinito)

Para isso, vamos usar o teste da comparação fechou?

Este teste funciona da seguinte forma: vamos comparar duas séries, uma de convergência conhecida e outra não.

Supondo que nós temos duas séries: ∑ a n e ∑ b n , podemos concluir algumas coisas:

Se a n ≥ b n ,   ∀ n e nós sabemos que ∑ b n diverge, então ∑ a n também diverge.

Se a n ≤ b n ,   ∀ n e nós sabemos que ∑ b n converge, então ∑ a n também converge.

Para outros casos não podemos concluir nada.

Então partiuuu

Passo 2

Temos

∑ n = 1 ∞ n ! n n

Se chamarmos o termo geral da nossa série de a n , podemos dizer que

a n = n ! n n

E isso vale para n ≥ 1 .

Para escolher a outra série vamos usar b n = 2 n 2 , porque olha só:

1 n ⋅ 2 n ⋅ 3 n ⋅ 4 n … n n < 1 n ⋅ 2 n

Ou seja:

n ! n n < 2 n 2

Belezinha, agora vamos analisar a convergência

Passo 3

Como a n < b n ,     e nós sabemos que ∑ n = 1 ∞ b n converge pois é uma série-p com p = 2 , então pelo teste da comparação

∑ n = 1 ∞ n ! n n

É convergente.

Resposta

Converge.

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