Exercícios Resolvidos de Teste da Divergência

Ver Teoria

Enunciado

Nos exercícios seguintes, verificar se as séries dadas são convergentes ou divergentes

e, no caso de convergência, dizer se é convergência absoluta ou condicional.

f )   ∑ n = 1 ∞ s e n π n

Passo 1

Oi, tudo bem?

Precisamos decidir se essa série

∑ n = 1 ∞ s e n π n

Converge ou diverge

E qual teste usar? Essa é a pergunta de milhões! Bom, olhando com carinho essa série vemos que quando n → ∞ seu termo geral

a n = ⏝ n → ∞ s e n π ∞ = 0

E esse é o primeiro teste: o teste da divergência. Avaliando o limite do termo geral quando n → ∞ , podemos ter duas conclusões:

  1. Se esse limite for diferente de zero: a série é divergente
  2. Se esse limite for igual a zero: nada podemos garantir sobre a série

Então até agora não garantimos nada!

Mas tem um teste interessante que podemos aplicar quando o limite do termo geral quase se parece com um limite fundamental: teste da comparação dos limites

O teste da comparação dos limites avalia o comportamento no infinito da razão entre dois termos gerais: o da série que queremos descobrir o comportamento ( a n ) e o termo geral de uma série que conhecemos o comportamento ( b n )

ρ = lim n → ∞ ⁡ a n b n

Aqui podemos ter dois cenários (e duas conclusões diferentes):

  1. Se ρ > 0 (precisa ser um número finito): ambas as séries possuem o mesmo comportamento
  2. Se ρ = 0 ou : nada podemos concluir!

Então como o limite do termo geral é zero, é interessante que nossa série comparativa tenha também esse comportamento (e convergente, pois é isso que queremos mostrar)

Bora começar?

Vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa série é a seguinte

∑ n = 1 ∞ s e n π n

E vamos usar para comparar uma série do tipo:

∑ n = 1 ∞ 1 n

Porque ela é divergente (é a nossa famosa série harmônica) e vai ajudar a gente na hora de calcular o limite!

Precisamos achar

ρ = lim n → ∞ ⁡ a n b n

Com

a n = s e n π n   ; b n = 1 n

Agora #partiu calcular esse limite

ρ = lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ s e n π n 1 n = 0 0 ⏝ L ' H o p i t a l

Opa! Encontramos uma indeterminação! Precisamos sair dela!

Passo 3

Derivando em cima e embaixo, e avaliando novamente o limite temos

ρ = lim n → ∞ ⁡ s e n π n ' 1 n ' = lim n → ∞ ⁡ c o s π n . - π 2 n 2 - 1 2 n 2 = lim n → ∞ ⁡ π . c o s π n

Como o fator π independe de n , podemos trazer ele para fora do limite, assim temos

lim n → ∞ ⁡ π . c o s π n = π cos ⁡ 0 = π

Encontramos um valor finito maior do que zero! Oba! Assim nosso limite fica

ρ = π > 0

Então o limite da razão dos termos gerais resultou em um resultado positivo e finito! Isso significa que as duas séries possuem o mesmo comportamento

Portanto, como a série

∑ n = 1 ∞ 1 n

É a série harmônica e portanto divergente, então a nossa série

∑ n = 1 ∞ s e n π n

É divergente!

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

d i v e r g e n t e

Exercícios de Livros Relacionados

27-42. Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.36. ∑ n = 1 ∞ 1 1 + 2 3 n
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre sua soma. ∑ k = 0 ∞ 2 - k
Vimos que a série harmônica é uma série divergente cujos termostendem a 0. Mostre que ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ 1 + 1 n também é uma série com essa propriedade.
Determine se a série é onvergente ou divergente. Se for convergente, encontre sua soma. ∑ k = 1 ∞ k 2 k 2 - 2 k + 5
27-42. Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.31. ∑ n = 1 ∞ 1 + 2 n 3 n