Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada

UFPE, Cálculo 1, 1º EE - 2017.2, Questão 5

Um aluno foi desafiado a chutar uma bola do alto de um prédio com 30   m e t r o s de altura, de modo a atingir o solo com a inclinação de 45 o . Sabendo-se que a bola descreve uma trajetória parabólica dada pela equação y = 30 - 5 x ² v 0 ² , onde x é a distância percorrida horizontalmente pela bola, y é a altura da bola e v 0 é a velocidade horizontal aplicada pelo aluno no momento do lançamento, determine o valor de v 0 para que o aluno vença o desafio.

Passo 1

Quando a bola atinge o chão sua altura é y = 0 , então vamos fazer essa substituição na equação da trajetória para descobrir x 0 , que é a distância percorrida, em função da velocidade inicial.

0 = 30 - 5 x 0 ² v 0 ²

0 = 30 v 0 2 - 5 x 0 ² v 0 ²

30 v 0 2 - 5 x 0 2 = 0

5 x 0 ² = 30 v 0 2

x 0 ² = 6 v 0 2

x 0 = 6 v 0 2

x 0 = 6 v 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos derivar y = 30 - 5 x ² v 0 ² para determinarmos o coeficiente angular da reta tangente à trajetória parabólica no ponto onde a bola toca o chão. Lembre-se que v 0 é a velocidade inicial, logo é um valor constante.

y ' = 0 - 10 x v 0 ²

y ' = - 10 x v 0 ²

Agora podemos achar o coeficiente angular no ponto onde a bola toca o chão, isto é, quando x = x 0 .

y ' x 0 = - 10 x 0 v 0 2 = - 10 6 v 0 v 0 2 = - 10 6 v 0

Passo 3

A bola deve atingir o solo numa inclinação de 45 o negativos (conforme a figura). A inclinação corresponde a tangente do ângulo. A inclinação equivale ao coeficiente angular da reta tangente, portanto:

y ' x 0 = tan - 45 o

- 10 6 v 0 = - 1

v 0 = 10 6   m / s

Resposta

v 0 = 10 6   m / s

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