Um ponto, move-se ao longo da elipse x 2 + 4 y 2 = 1 . A abscissa x está variando com velocidade d x d t = s e n 4 t

Mostre que

d 2 y d t 2 = - s e n 2 4 t + 16 x y 2 c o s 4 t 16 y 3

Passo 1

Vamos fazer o que o enunciado nos pediu! E pra isso precisaremos derivar a equação da elipse implicitamente com relação a t. Fazendo isso, temos:

2 x d x d t + 8 y d y d t = 0

8 y d y d t = - 2 x d x d t

d y d t = - 2 x 8 y × d x d t

d y d t = - x 4 y × d x d t

E sabemos que d x d t = s e n 4 t de acordo com o enunciado. Então:

d y d t = - x 4 y   s e n 4 t

Passo 2

Derivando mais uma vez:

d 2 y d t 2 = - x s e n 4 t ' 4 y - ( 4 y ) ' ( - x s e n 4 t ) 4 y 2

d 2 y d t 2 = - 16 x y c o s 4 t + x s e n 4 t y - x s e n 4 t 16 y 2

d 2 y d t 2 = - 16 x y 2 c o s 4 t - x 2 s e n 2 4 t y 16 y 2

d 2 y d t 2 = - x 2 s e n 2 4 t + 15 x y 2 c o s 4 t 16 y 3

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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