Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada

George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp. 236-5.

A voltagem V (volts), a corrente I (amperes) e a resistência R (ohms) de um circuito elétrico (veja a seguir) estão relacionadas entre si pela equação V = I R . Suponha que V esteja aumentando a uma taxa de 1 v o l t s / s , enquanto I está diminuindo a uma taxa de 1 / 3 A / s . Representaremos o tempo t em segundos.

a ) Qual é o valor de d V / d t ?

b ) Qual é o valor de d I / d t ?

c ) Qual equação relaciona d R / d t , d V / d t e d I / d t ?

d ) Encontre a taxa com a qual R está variando quando V = 12 e I = 2 A . R está aumentando ou diminuindo?

Passo 1

a)

Queremos saber o valor d V / d t , ou seja, o quanto a tensão varia no tempo. O próprio enunciado diz que a tensão está variando a uma taxa de 1 volt (tensão) por segundo (tempo). Então já temos essa informação:

d V d t = 1 v o l t s / s

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Passo 2

b)

O próprio enunciado diz que a corrente está variando a uma taxa de 1 / 3 amper (corrente) por segundo (tempo). E ela está diminuindo, então a taxa de variação tem que ser negativa:

  d I d t = - 1 3 A / s

Passo 3

c)

Todas as taxas do enunciado estão em relação ao tempo. Para encontrá-la, derivamos implicitamente em relação ao tempo: V = I R ⟹ d V d t = d I d t ⋅ R + d R d t ⋅ I

Olhe lá! d R / d t , d I / d t e d V / d t estão nessa nova equação. Esta é a equação que os relaciona.

Passo 4

Quando V = 12 v o l t s , I = 2 A e, pelo enunciado, d V / d t = 1 v o l t s / s e d I / d t = 1 / 3 A / s :

d V d t = d I d t ⋅ R + d R d t ⋅ I ⟹ 1 = - 1 3 ⋅ R + d R d t ⋅ 2

Caramba! Para saber d R / d t temos que conhecer R , e agora? Simples, da primeira equação:

V = R I ⟹ 12 = 2 R ⟹ R = 6 Ω

Agora sim:

1 = - 1 3 ⋅ 6 + d R d t ⋅ 2

- 2 + 2 d R d t = 1

2 d R d t = 3

Portanto:

d R d t = 3 2 Ω / s

Que é positiva, então R está aumentando!

Resposta

a ) d V d t = 1 v o l t s / s

b ) d I d t = - 1 3 A / s

c )

d V d t = d I d t ⋅ R + d R d t ⋅ I

d ) d R d t = 3 2 Ω / s > 0 → R   e s t á   a u m e n t a n d o

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