Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada

USP, Cálculo 1, P1 - 2018, Questão Q02

Uma mangueira está enchendo um tanque com água. O tanque tem o formato de um prisma de comprimento 8 m cuja base é um triângulo equilátero (ver figura abaixo). Sabendo que a vazão é constante e igual a 5   m 3 / m i n , determine a taxa de variação da altura da água, h ( t ) , no instante em que ela é 2 3 m   .

Passo 1

Essa questão parece complicada mas relaxa que a gente tira de letra. Vamos rever as informações que nós temos:

  • Vazão
  • Comprimento do tanque
  • Instante da altura

Vamos olhar pra primeira informação. Se as unidades de vazão são m 3 / m i n , e m 3 é unidade de volume, temos então que:

V a z ã o = d V t d t = V ' t

Esse volume vai ser volume de líquido. E veja bem, independente da taxa de aumento do volume, o formato da água vai ser sempre o mesmo: um prisma de base triangular! E o volume de um prisma deitado desse tipo vai ser dado por:

V t = A L t ∙ C

Onde A L é a área lateral, ou seja, a área do triângulo equilátero e C é o comprimento. Como o comprimento é dado e vai ser fixo enquanto a água aumenta, vamos ter que:

V t = 8   A L t

E derivando em relação ao tempo:

V ' t = 8   A L ' t

E olha só! V ' , que é a vazão, é dado do problema também! Sendo assim, substituímos V ' = 5 e temos:

A L ' t = 5 8 m 2 m i n

Descobrimos como a área lateral do prisma de água varia com o tempo, mas não é bem isso que queremos né? Vamos tentar relacionar então A L com h

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Passo 2

Olhando pra base do prisma de água, vemos que ele é um triângulo equilátero.

Como qualquer triângulo, a área desse triângulo vai ser:

A = l h 2

Como essa área A é a área lateral do prisma de água, que é uma função do tempo, e representando o triângulo da forma que a figura do enunciado nos dá, temos então que:

A L t = l t   h t 2

Onde a seta vinho indica o sentido da variação do nível de água.

Beleeeza, mas temos um problema: não sabemos e nem queremos saber nada sobre l t . O jeito então vai ser relacionar l t com h t que é o protagonista dessa nossa questão. Uma forma é a gente pensar em trigonometria! Como o triângulo é equilátero, todos os ângulos são de 60 º ! Sendo assim:

sin ⁡ 60 º = h t l t → l t = h t sin ⁡ 60 º

l t = h t 3 2 = h t 3 2 3 = 2 3   h t 3

A área lateral em função do tempo vai ser então:

A L t = l t   h t 2 =   h t 2 2 3   h t 3 = 3   h 2 t 3

A L t = 3   h 2 t 3

Passo 3

Agora que sabemos a cara de A L t , vamos precisar derivar beleza? Afinal, sabemos A L ' t ! Derivando, vamos ter:

A L ' t = 3   h 2 t 3 '

A L ' t = 2 3   h t   h ' t 3

Juntando com o valor de A L ' t encontrado no passo 1 , temos:

5 8 = 2 3   h t   h ' t 3

h t   h ' t = 5 ∙ 3 8 ∙ 2 ∙ 3 = 5 ∙ 3 ∙ 3 8 ∙ 2 ∙ 3 = 5 ∙ 3 8 ∙ 2

Não acabou ainda. O enunciado quer a taxa de variação da altura do nível de água, mas não é a taxa de variação em qualquer instante não em! Ela quer em un determinado instante t * em que h t * = 2 3 m . Sendo assim, vamos ter:

h t *   h ' t * = 5 ∙ 3 8 ∙ 2  

2 h ' t * 3 = 5 ∙ 3 8 ∙ 2  

h ' t * = 5 ∙ 3 ∙ 3 8 ∙ 2 ∙ 2 = 15 3 32

Fechouuu! A taxa de variação da altura do nível de água vai ser então:

h ' t * = 15 3 32   m m i n

Resposta

h ' t * = 15 3 32   m m i n

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