Um cone está inscrito em uma esfera conforme mostra figura abaixo. Se o raio da esfera está aumentando a uma taxa de 0,9   m / m i n e a altura do cone está aumentando a uma taxa de 0,8   m / m i n , com que taxa está aumentando o volume do cone no instante em que o raio da esfera mede 1   m e a altura do cone mede 4 / 3   m .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a taxa de variação do volume do cone, que tem uma altura variável e que tá inscrito numa esfera de raio variável. Então, a gente precisa determinar d V d t quando o raio da esfera é R ( t ) = 1   m , o raio do cone é r ( t ) e a altura do cone é h ( t ) = 4 3   m .

Pra isso, nós vamos ligar um dos pontos da esfera até um dos pontos da base do cone, observando que se forma um triângulo retângulo de hipotenusa R e catetos r e h - r . Assim, usando o teorema de Pitágoras, vamos ter a relação:

h t - R t 2 + r 2 t = R 2 ( t )

Dessa forma, usando os valores do enunciado vamos obter o valor de r ( t ) pra usar na equação da taxa de variação do volume do cone, que é derivada da equação V t = π 3 r 2 t h ( t ) .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar pela relação que encontramos na nossa figura:

h t - R t 2 + r 2 t = R 2 ( t )

Substituindo R t = 1 e h t = 4 / 3 , dados pelo enunciado, temos:

4 3 - 1 2 + r 2 t = 1 2

r 2 t = 8 9 → r t = 2 2 3

Passo 3

Agora vamos pegar de novo nossa relação e derivar implicitamente:

2 h - R h ' - R ' + 2 r r ' = 2 R R '

E dividindo todo mundo por 2 :

h - R h ' - R ' + r r ' = R R '

Mas o enunciado nos disse que raio da esfera está aumentando a uma taxa de 0,9   m / m i n e a altura do cone está aumentando a uma taxa de 0,8   m / m i n . Então, temos R ' = 0,9 e h ' = 0,8 . Além disso, nós temos R = 1 , h = 4 3 e r = 2 2 3 , então substituindo todos os valores, vamos obter:

4 3 - 1 0,8 - 0,9 + 2 2 3 ∙ r ' = 1 ∙ 0,9

r ' = 7 5 2

Passo 4

Nós vimos no passo 1 que o volume do cone é dado por V t = π 3 r 2 t h ( t ) . Derivando essa equação implicitamente, usando a regra do produto, temos:

V ' = π 3 ( 2 r ' t r t h t + r 2 t h ' t )

Então, substituindo os dados do enunciado e os valores que encontramos, temos:

V ' ( t ) = π 3 2 ∙ 7 5 2 ∙ 2 2 3 ∙ 4 3 + 2 2 3 2 ∙ 0,8

V ' t = 16 π 15   m 3 / m i n

Essa a taxa com que está aumentando o volume do cone no instante considerado.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

16 π 15   m 3 / m i n

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