Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada

UFRJ, Cálculo 1, P1 - 2013.1, Questão 2

Um tanque tem 5 m de comprimento e sua seção transversal é sempre um triângulo equilátero, conforme a figura abaixo. Está sendo bombeada água para o interior do tanque a uma taxa de 0,5   m 3 / m i n . Com que velocidade o nível da água estará subindo quando o conteúdo de água no tanque estiver com 0,3   m de profundidade?

Passo 1

Bora lá. Pra começar, vamos pensar no seguinte. A água subindo, o volume aumenta, certo? Como o recipiente é um prisma de base triangular e a água assume o mesmo formato do prisma, então o volume de água vai ser:

V = A . H

Show de bola, mas tem coisa pra modelar ainda. Uma coisa já da pra adiantar galera, a altura h . Esse prisma ta deitado, mas olha só, a altura é uma constante dada pelo problema! Nesse caso seria o comprimento de 5 m . E logo:

V = 5 A

Falta modelar a área agora. Como temos um triângulo equilátero, saca só a nossa base.

Como todo bom triângulo, a área vai ser:

A = l . h 2

Mas olha só, a altura do triângulo é a mesma coisa que a altura do nível de água! Como a questão fala disso, vamos escrever a área como uma função só da altura então, ok? Sendo assim, pela trigonometria, temos:

tan ⁡ 60 º = h l 2

3 = h l 2

l 3 2 = h

l = 2 h 3

E pronto, terminamos de modelar a fórmula do volume, saca só. Primeiro, pra área do triângulo:

A = l . h 2   ;   l = 2 h 3

A = h 2 3  

E pro volume:

V = 5 A   ;   A = h 2 3  

V = 5 h 2 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Show de bola! Agora que sabemos como o volume de líquido funciona em função da altura de líquido, vamos ver as taxas. Galera, taxa lembra variação no tempo né? Então, sendo:

h = h t →   d h d t = h ' t

V = V t → d V d t = V ' t

Derivando dos dois lados em função do tempo, temos, fazendo uma regra da cadeia:

V = 5 h 2 3

V ' t = 10   h t   h ' t 3

No instante de tempo do enunciado, t = t 0 , temos algumas informações dadas por ele em! Elas são:

V ' t 0 = 0,5   m 3 / m i n

h t 0 = 0,3   m

Substituindo:

V ' t 0 = 10   h t 0   h ' t 0 3

0,5 = 10 ∙   0,3   h ' t 0 3

1 2 = 3   h ' t 0 3

h ' t 0 = 3 6         m / m i n

E prontinho, essa é a taxa com a qual o nível de água aumenta!

Resposta

h ' t 0 = 3 6         m / m i n

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