Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada

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Enunciado

Sejam x e y funções deriváveis de t e seja s = x ² + y 2 a distância entre os pontos ( x , 0 ) e ( 0 , y ) no plano x y .

a ) Como d s / d t está relacionada a d x / d t se y é constante?

b ) Como d s / d t está relacionada a d x / d t e d y / d t se nem x nem y são constantes?

c ) Como d x / d t está relacionada a d y / d t se 𝑠 é constante?

Passo 1

a ) Derivando para achar as taxas relacionadas: s = x 2 + y 2 ⟹ d s d t = 1 2 x 2 + y 2 ⋅ 2 x ⋅ d x d t + 2 y ⋅ d y d t

d s d t = 1 x 2 + y 2 ⋅ x ⋅ d x d t + y ⋅ d y d t

Quando y é constante, seu valor não variará no tempo, então sua derivada é zero:

d s d t = 1 x 2 + y 2 ⋅ x ⋅ d x d t

Passo 2

b ) Quando nem x nem y são constantes, temos a equação que achamos antes de zerar a derivada de y :

d s d t = 1 x 2 + y 2 ⋅ x ⋅ d x d t + y ⋅ d y d t

Passo 3

c ) Quando s é constante, sua derivada também será zero, então:

d s d t = 1 x 2 + y 2 ⋅ x ⋅ d x d t + y ⋅ d y d t ⟹ 0 = 1 x 2 + y 2 ⋅ x ⋅ d x d t + y ⋅ d y d t

Resposta

a ) d s d t = 1 x 2 + y 2 ⋅ x ⋅ d x d t

b ) d s d t = 1 x 2 + y 2 ⋅ x ⋅ d x d t + y ⋅ d y d t

c )

0 = 1 x 2 + y 2 ⋅ x ⋅ d x d t + y ⋅ d y d t

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