2) Uma pedra jogada em um lago emite ondas circulares, de modo que a área da região englobada pela onda cresce à taxa de 6   c m ² / s .   Com que rapizes estará crescendo o raio da onda no instante que este for 5   c m ? Justifique sua resposta

Passo 1

Show de bola galera. Pra começar, como estamos falando da área de um círculo, um bom primeiro passo é escrever ela:

A = π r 2  

Bom, como sabemos que essa área ta variando com o tempo, vamos derivar então em relação a t ! Assim a gente acha a taxa de variação instantânea da área, que é exatamente o que o enunciado pediu:

d A d t = d π r 2   d t = π d r 2   d t

Como π é uma constante, ela pode sair da derivação. Agora, veja bem, o raio não é uma constante! Ele varia com o tempo também! Então temos que fazer uma Regra da Cadeia aí. Nossa derivada fica:

d A d t = d π r 2   d t = 2 π r d r d t

O que é o mesmo que:

A ' t = 2 π   r t   r ' t

Passo 2

Agora, saca só, a fórmula que achamos é bem genérica, vale pra qualquer t que a gente escolha. A gente pode então definir um! Mesmo sem saber qual o valor numérico, vamos definir um instante qualquer t 0 onde esse instante é o que o enunciado pede, ok? Ficamos com:

A ' t 0   = 2 π   r t 0     r ' t 0  

No instante do enunciado, temos duas informações importantíssimas: a taxa de variação instantânea da área A ' t 0   e o valor do raio no instante em questão r t 0   ! Então tamos feitos! Substituindo os dados do enunciado:

A ' t 0   = 6   c m ²   / s

r t 0   = 5   c m

Temos:

6 = 2 π   5   r ' t 0  

3 = 5 π   r ' t 0  

r ' t 0   = 3 5 π   c m / s

E fechamos! Taí a taxa de variação instantânea do raio, pedido pelo enunciado ;)

Resposta

r ' t 0   = 3 5 π   c m / s

Exercícios de Livros Relacionados

20. Caminhão na estrada O gráfico a seguir mostra a posição de um caminhão que percorre uma estrada. O caminhão parte em t = 0 e retorna 15 h mais tarde, em t = 15.a. Use a técnica descrita no Exemplo
O rendimento total recebido da venda de x carteiras é R x = 200 x - 1 3 x 2 c) Ache o rendimento real da venda da trigésima primeira carteira.
O número de células de levedura em uma cultura de laboratório aumenta rapidamente no início, mas eventualmente estabiliza. A população é modelada pela função n = f t = a 1 + b e - 0,7 t Em que t é med
(a) Encontre a taxa de variação média da área de um círculo em relação ao seu raio r quando r varia de i 2a3i i2a2,5i i i 2a2 , 1 (b) Encontre a taxa de variação instantânea quando r = 2 (c) Mostre qu
A quantidade de carga Q , em coulombs (C), que passa através de um ponto em um fio até o instante t (medido em segundos) é dada por Q t = t 3 - 2 t 2 + 6 t + 2 Encontre a corrente quando (a) t = 0,5 s