Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada

UFPE, Cálculo 1, 2º EE - 2019.1, Questão Q02

2) Uma pedra jogada em um lago emite ondas circulares, de modo que a área da região englobada pela onda cresce à taxa de 6   c m ² / s .   Com que rapizes estará crescendo o raio da onda no instante que este for 5   c m ? Justifique sua resposta

Passo 1

Show de bola galera. Pra começar, como estamos falando da área de um círculo, um bom primeiro passo é escrever ela:

A = π r 2  

Bom, como sabemos que essa área ta variando com o tempo, vamos derivar então em relação a t ! Assim a gente acha a taxa de variação instantânea da área, que é exatamente o que o enunciado pediu:

d A d t = d π r 2   d t = π d r 2   d t

Como π é uma constante, ela pode sair da derivação. Agora, veja bem, o raio não é uma constante! Ele varia com o tempo também! Então temos que fazer uma Regra da Cadeia aí. Nossa derivada fica:

d A d t = d π r 2   d t = 2 π r d r d t

O que é o mesmo que:

A ' t = 2 π   r t   r ' t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, saca só, a fórmula que achamos é bem genérica, vale pra qualquer t que a gente escolha. A gente pode então definir um! Mesmo sem saber qual o valor numérico, vamos definir um instante qualquer t 0 onde esse instante é o que o enunciado pede, ok? Ficamos com:

A ' t 0   = 2 π   r t 0     r ' t 0  

No instante do enunciado, temos duas informações importantíssimas: a taxa de variação instantânea da área A ' t 0   e o valor do raio no instante em questão r t 0   ! Então tamos feitos! Substituindo os dados do enunciado:

A ' t 0   = 6   c m ²   / s

r t 0   = 5   c m

Temos:

6 = 2 π   5   r ' t 0  

3 = 5 π   r ' t 0  

r ' t 0   = 3 5 π   c m / s

E fechamos! Taí a taxa de variação instantânea do raio, pedido pelo enunciado ;)

Resposta

r ' t 0   = 3 5 π   c m / s

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