Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada

UFPE, Cálculo 1, 2º EE - 2017.2, Questão 4

Um reservatório retangular de largura 2 m tem um painel interno que desliza com velocidade de afastamento 0,3 m / m i n .

Sabendo-se que num determinado momento, o volume de água do reservatório da esquerda é 4 m ³ e está crescendo à taxa de 0,5 m 3 / m i n , determine se o nível de água está subindo ou descendo e com que velocidade nos seguintes casos:

a. No instante dado, o reservatório da esquerda tem comprimento 2 m

b. O reservatório da esquerda tem comprimento 4 m , naquele momento

Passo 1

Sabemos que o volume pode ser calculado da seguinte maneira:

V = 2 x y

Além disso, sabemos que a velocidade com que x muda, isto é, a derivada de x é

x ' = 0,3   m / m i n

A taxa de variação do volume é de 0,5   m 3 / m i n , ou seja:

V ' = 0,5   m 3 / m i n

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Na letra a é perguntado se o nível de água está subindo ou descendo e com que velocidade. Se queremos saber a velocidade com que y diminui ou cresce, queremos saber a derivada de y . Para achá-la, podemos derivar implicitamente a função do volume em função do tempo.

V ' = 2 x ' y + 2 x y '

Passo 3

No instante considerado, sabemos que

x = 2

Sabemos também que nesse instante V = 4 m 3 . Como

V = 2 x y

Temos que

4 = 2 ⋅ 2 ⋅ y → y = 1 m

Ou seja, nesse instante a altura é de 1 m .

Passo 4

Vamos juntar tudo isso na fórmula do passo 2, lembrando que

V ' = 0,5   m 3 / m i n

Então

V ' = 2 y ' x + 2 x ' y → 0,5 = 2 y ' ⋅ 2 + 2 ⋅ 0,3 ⋅ 1 → 4 y ' = - 0 , 1 ∴ y ' = - 0 , 025   m / m i n

Isso diz pra gente que no instante considerado a variação da altura é negativa! Logo o reservatório está descendo.

Passo 5

Para esse outro item a ideia é a mesma, só vão mudar os valores! Vem comigo:

Agora temos que

x = 4 m

Então a altura nesse instante é de:

V = 2 x y → 4 = 2 ⋅ 4 ⋅ y ∴ y = 0,5 m

Passo 6

Com isso em mãos, vamos substituir na formulinha do passo 2

V ' = 2 x y ' + 2 x ' y → 0,5 = 2 ⋅ 4 ⋅ y ' + 2 ⋅ 0,3 ⋅ 0,5 → y ' = 0 , 0 2 5 m / s

Isso diz pra gente que no instante considerado a variação da altura é positiva! Logo o reservatório está subindo.

Resposta

a .   D e s c e n d o .               - 0 , 025   m / m i n

b .   S u b i n d o .                 0 , 0 2 5   m / m i n    

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