O raio de um cilindro circular reto aumenta com velocidade constante. Sua altura é uma função

afim do raio e aumenta 3 vezes mais rápido do que este, de modo que quando o raio mede 1   m , a altura mede 6   m . No instante em que o raio mede 6   m , o volume aumenta a uma razão de 3   m 3 / m i n . Determine a taxa de variação do volume no instante em que o raio do cilindro mede 10   m .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a taxa de variação do volume do cilindro no instante que o raio mede r = 10   m . Ele nos diz que a altura h é uma função linear do raio r e que o raio aumenta 3 vezes mais rápido que h . Então, temos:

h = 3 r + k

Além disso, ele nos diz que quando o raio mede 1   m , a altura mede 6   m . Assim, teremos:

6 = 3 1 + k → k = 3

Outra informação importante que nós temos é que o volume aumenta a uma razão de 3   m 3 / m i n quando r = 6   m . Então,

d V d t = 1 m 3 / m i n   →   r = 6   m

E para r = 6 na primeira equação, encontramos a altura h = 3 6 + 3 = 21   m . Como o raio e a altura variam, vamos derivar a equação do volume do cilindro implicitamente, V = π r 2 h , usando a regra do produto e encontrar a taxa de variação do volume usando os dados do enunciado.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando a fórmula do volume do cilindro:

V = π r 2 h

d V d t = π r 2 d h d t + 2 π r h d r d t

Como temos d V d t = 1 m 3 / m i n , substituindo vamos encontrar:

π r 2 d h d t + 2 π r h d r d t = 1

Além disso, d h d t = 3 d r d t , porque o enunciado nos diz que a altura cresce três vezes mais que o raio. Assim, ficamos com:

π r 2 3 d r d t + 2 π r h d r d t = 1

Substituindo r = 6   m e h = 21   m , que encontramos no passo 1 , temos:

π ( 6 ) 2 3 d r d t + 2 π ( 6 ) ( 21 ) d r d t = 1

d r d t = 1 360 π

Passo 3

Nós queremos achar d V d t quando o raio do cilindro mede r = 10   m . Colocando esse valor na equação do passo 1 , teremos:

h = 3 r + 3 → h = 3 10 + 3 = 33   m

Então, substituindo h = 33   m , r = 10   m , d r d t = 1 360 π e d h d t = 3 d r d t = 1 120 π , na expressão da taxa do volume, temos:

d V d t = π r 2 d h d t + 2 π r h d r d t

d V d t = π 10 2 1 120 π + 2 π ( 10 ) ( 33 ) 1 360 π

d V d t = 10 12 + 66 36

= 8 3   m 3 / m i n

Isso significa que o volume varia a uma taxa de 8 3   m 3 / m i n quando r = 10   m .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

8 3   m 3 / m i n

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