2. A área de um círculo aumenta a uma taxa constante de 2   c m 2 / s . Calcule a taxa de variação da sua circunferência quando o raio é igual a 2   c m .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos um probleminha de taxa relacionada. Nós vamos precisar relacionar a taxa de variação do aumento da área com círculo, com o a taxa de variação do aumento da sua circunferência. Ou seja, ele quer saber quem é

d C t d t

Mas para fazer isso, vamos precisar primeiro, estabelecer uma relação entre eles.

Para quem não lembra, a área do circulo é dada por:

A = π r 2

Já a circunferência é dada por:

C = 2 π r

Agora vamos relacioná-los!

Passo 2

Galerinha, repara, que podemos estabeler uma relação entre a área A e a circunferência C , pelo raio.

Isolando o raio da equação da circunferência, ficamos com

r = C 2 π

Substituindo na equação da área, ficamos com

A = π r 2 = π C 2 π 2

A = C 2 4 π

Como, ambos variam de acordo com o tempo, podemos fizer que ambos são função do tempo e escrever.

A t = C t 2 4 π

Prontinho! Estabelecemos uma relação!

Passo 3

Agora preciamosa relacionar as duas taxas de variação, ou seja, relacionar as duas derivadas.

Derivando em função do tempo, ficamos com

d A t d t = 2 C t 4 π d C t d t

Ajeitando,

d A t d t = C t 2 π d C t d t

Mas o problema nos disse que área de um círculo aumenta a uma taxa constante de 2   c m 2 / s , ou seja,

d A t d t = 2   c m 2 / s

Logo,

2 = C t 2 π d C t d t

Isolando, então o nosso, d C t d t

d C t d t = 4 π C t

Mas ainda não acabamos!

Passo 4

O problema nos pediu para calcular a taxa de variação da sua circunferência quando o raio é igual a 2   c m e na nossa equação não temos o raio. Mas lembra que

C = 2 π r

Substituindo,

d C t d t = 4 π 2 π r = 2 r

Como temos que r = 2 ,

d C t d t = 2 2 = 1   c m / s

Resposta

1   c m / s

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