Um funil cônico têm diâmetro de 30   c e n t í m e t r o s na parte superior e altura de 40   c e n t í m e t r o s . Se o funil for alimentado à taxa de 1,5   L / s e g e tem uma vazão de 800   c m ³ / s e g , determine quão rapidamente está subindo o nível de água quando esse nível for de 25   c e n t í m e t r o s .

Passo 1

E ai, xuxus!! Quais as novidades? A que eu tenho pra vocês é que vão tirar 10 nessa matéria :)

Bom, nossa questão é sobre um funil cônico que é alimentado por água a uma taxa de 1,5   L / s e g e a saída desta substância ocorre de acordo com a vazão de 800   c m ³ / s e g . Sendo assim, a questão deseja saber qual será a taxa de variação do nível de água quando a altura correspondente for de 25   c e n t í m e t r o s . Além disso, a questão nos fornece que o diâmetro da parte superior do funil é de 30   c e n t í m e t r o s e que a altura total do funil é de 40   c e n t í m e t r o s . Como proceder???

Passo 2

Primeiro, vamos pensar sobre a variação do volume em relação ao tempo dentro do funil cônico. Temos que a água está entrando a uma taxa V E   =   1,5   L / s e g e que a saída dessa água ocorre a uma taxa V S = 800   c m ³ / s e g . Portanto, a taxa correspondente ao volume de água que permanece dentro do funil será de:

d V d t = d V E - d V S d t

Lembrando que 1   L   =   1000   c m ³

Assim,

1,5   L / s e g   =   1500   c m ³ / s e g

Dessa forma nossa equação correspondente será :

d V d t   =   1500 - 800 d t

d V d t   =   700   c m ³ / s e g

Passo 3

Beleza, mas agora precisamos relacionar isso com o volume do nosso cone.

O volume de um cone é dado pela equação:

V   =   1 3 Π r ² h

E sabemos que o diâmetro da parte superior do nosso cone possui 30   c e n t í m e t r o s , ou seja,

R   =   D 2 =   30 2   =   15   c m

E além disso, a altura total H é de 40   c m . Vamos supôr que eu irei fatiar esse meu cone em seções paralelas a base do funil, ao fazer isso é possível relacionar o raio de cada seção em relação a altura em que se encontra essa seção, como na figura:

Desse modo, temos que:

R r =   H h

15 r   =   40 h

r   =   15 40 h   = 3 8 h

Passo 4

Agora que conseguimos relacionar o raio de cada seção com sua altura correspondente, vamos aplicar esse valor na fórmula do volume de um cone.

O volume de um cone é dado pela equação:

V   =   1 3 Π r ² h

Utilizando r   =   3 8 h , temos que :

V   =   1 3 Π ( 3 8 h ) ² h

  V =   9 Π 192 h ³

Aplicando a derivada do volume em relação a altura, temos:

V =   9 Π 192 h ³

d V d h =   27 Π 192 h ² = 9 Π 64 h ²

Passo 5

Como estamos interessados na variação do nível da água em relação ao tempo e até agora possuímos apenas a derivada do volume em relação a altura, manipularemos a nossa equação de modo que se obtenha a variação desejada:

d V d h = 9 Π 64 h ²

d V d h = d h d t 9 Π 64 h ²

No passo 2, obtemos que d V d t   =   700   c m ³ / s e g , logo:

700 = d h d t 9 Π 64 h ²

d h d t = 700 ⋅ 64 9 Π ⋅ h ²

Agora encontramos a variação do nível da água em relação ao tempo, só falta encontrar para h   =   25   c m . Basta substituir esse valor na nossa equação:

d h d t = 700 ⋅ 64 9 Π ⋅ h ²

d h d t = 700 ⋅ 64 9 Π ⋅ ( 25 ) ² =   1792 225 Π   c m / s e g

E aí? Essa resolução te ajudou? Responde aí!

:)

Resposta

  1792 225 Π   c m / s eg

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