Seja y = f ( x ) definida implicitamente pela equação sec 2 ⁡ ( x + y ) - cos 2 ⁡ x + y = 3 2 . Calcule f ' π 4 , sabendo que f π 4 = 0 .

Passo 1

Eaeee, seguinte... primeiramente devemos derivar a função explicitamente em relação a x , ou seja:

d d x sec 2 ⁡ ( x + y ) - d d x cos 2 ⁡ x + y = d d x 3 2

Pela regra da cadeia, sabemos que:

d y d x = d y d u ∙ d u d x

Logo, temos:

2 sec ⁡ x + y ∙ d d x sec ⁡ x + y - 2 cos ⁡ x + y ∙ d d x cos ⁡ x + y = 0 ∴

2 sec ⁡ x + y ∙ sec ⁡ x + y ∙ tan ⁡ x + y ∙ d d x x + y - 2 cos ⁡ x + y ∙ - s e n x + y ∙ d d x x + y = 0

2 sec ⁡ x + y ∙ sec ⁡ x + y ∙ tan ⁡ x + y ∙ 1 + y ' - 2 cos ⁡ x + y ∙ - s e n x + y ∙ 1 + y ' = 0

Onde ( 1 + y ' ) é a derivada de y em relação a x .

Passo 2

Dessa forma, embora tenha sido um pouco grandinha, obtemos uma expressão de x ,   y e y ' né?

Agora, se fizermos x = π 4 , obteremos f ' π 4 , sabendo que y = 0 , como foi dito no enunciado.

Assim, vamos determinar y ' para x = π 4 e y = 0 :

2 sec ⁡ π 4 + 0 ∙ sec ⁡ π 4 + 0 ∙ tan ⁡ π 4 + 0 ∙ 1 + y ' - 2 cos ⁡ π 4 + 0 ∙

- s e n π 4 + 0 ∙ 1 + y ' = 0 ∴

2 2 ∙ 2 ∙ 1 1 + y ' - 2 2 2 - 2 2 1 + y ' = 0 ∴

4 + 4 y ' + 1 + y ' = 0 ∴

y ' = - 1

Um bocadinho de algebrismo, mas devagarinho vamos dando certo ;)

Resposta

y ' = f π 4 = - 1

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