Um cilindro circular reto é obtido girando-se um retângulo de diagonal constante e igual a 5   c m , em torno de um dos seus lados. Determine a taxa de variação do volume do cilindro no instante que a altura do cilindro é 5   c m e está aumentando à razão de 2   c m   s - 1 .

Passo 1

Faaaala, consagrados! Nessas questões de variação, devemos primeiramente estabelecer um vínculo geométrico.

A diagonal do retângulo é fixa, logo, temos por Pitágoras:

D 2 = R 2 + h 2 ⇒ R = 25 - h 2

O volume do cilindro é dado por:

V = π R 2 h = π 25 - h 2 h = π ( 25 h - h 3 )

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia, obtemos:

d V d t = d V d h ⋅ d h d t =

= d d h   π 25 h - h 3 ⋅ d h d t

= π   25 - 3 h 2 ⋅ d h d t

Substituindo os valores para o instante dado:

d V d t = π 25 - 3 5 2 2 = 20 π   c m 3 / s

Resposta

d V d t = 20 π   c m 3 / s

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