Um ponto move-se ao longo da elipse x 2 + 4 y 2 = 1 . A abcissa x está variando a uma velocidade d x d t = s e n   4 t . Mostre que

  1. d y d t = - x   s e n 4 t 4 y
  2. d 2 y d t 2 = - s e n 2 4 t + 16 x y 2 c o s 4 t 16 y 3

Passo 1

Falaeee, beleza?? Seguinte...

Primeiramente derivamos implicitamente a expressão:

d d t x 2 + d d t 4 y 2 = d d t 1 ∴

2 x d x d t + 8 y d y d t = 0 ∴

d y d y = - 2 x 8 y d x d t

Passo 2

Assim, a gente sabe que d x d t = s e n 4 t .

Portanto, teremos que:

d y d t = - x 4 y s e n 4 t

Passo 3

Já para d 2 y d t 2 , derivamos d y d t novamente. Assim ó:

d 2 y d t 2 = - x s e n 4 t ' ∙ 4 y - 4 y ' ∙ x 4 y s e n 4 t ∙ - x s e n 4 t 16 y 2 ∴

d 2 y d t 2 = - 4 x cos ⁡ 4 t 4 y - 4 - x 4 y s e n 4 t - x s e n 4 t 16 y 2 ∴

d 2 y d t 2 = - 16 x y cos ⁡ 4 t - x 2 s e n 2 4 t y 16 y 2 ∙ y y ∴

d 2 y d t 2 = - x 2 s e n 2 4 t + 16 x y 2 cos ⁡ 4 t 16 y 3

Entendeu direitinho?? Responde Aí haha

Resposta

d y d t = - x 4 y s e n 4 t

d 2 y d t 2 = - x 2 s e n 2 4 t + 16 x y 2 cos ⁡ 4 t 16 y 3

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